棋盘覆盖和Hall's marriage theorem

今天整理了一下自己电脑里存了一年的所有PDF，然后发现好像有很多很多很多都没有看，所以今天一整天就翻这些PDF去了。

发现了这么一本杂志不知道什么时候下下来的叫做《Recreational Mathematics》，花了半天时间才找到我是在这里下的，然后看了一篇《The Mutilated Chess Board》，就顺手写下来吧（文中的图均出自这篇文章）。

1.棋盘的多米诺骨牌问题

这个问题很常见了，也就是说

对于一个 m∗n 的国际象棋棋盘，如果用 1∗2 的多米诺骨牌覆盖，是否能互不重叠完全覆盖。

那么显然如果 n 和 m 都为奇数，则不能完全覆盖，如果有其中一个为偶数，则可以完全覆盖。

如果我把这个棋盘移掉了两个相对的棋盘角呢？也就是这样：

其实这个问题如果注意到，一个 1∗2 的多米诺骨牌，覆盖棋盘的时候必然覆盖一个黑格和一个白格，那么瞬间可以说出这个棋盘是不能被完全覆盖的，因为，这个棋盘有30个白格和32个黑格。

那么我们继续拓展这个问题

如果我们在完整的棋盘上随机移走一个白格和一个黑格，那么这个棋盘是否还能被完整覆盖呢？（当然前提是这个棋盘还是连通的）

显然是可以的，在《啊哈，灵机一动》中有这么一个解法，就是 n∗m 的棋盘会存在一个回路不重复不遗漏的遍历每一个棋盘格点，那这样如果挖掉一白一黑两个格子的话，就会把这个回路切割成两个部分，每个部分中黑格和白格个数相等，那这样就说明了这种棋盘是可以被完全覆盖的。

解决了这个问题之后，很自然我们会继续发问：

是不是对于一个棋盘，我挖去任意多的相等数量的白格和黑格，那么只要这个棋盘连通，它就可以被骨牌完全覆盖呢？

有一个叫Hall’s marriage theorem可以解决这个问题，当我如果同时挖去三个白格和三个黑格时，我们就可以构造一种情况使得棋盘就有可能不会被完全覆盖。

先来说说”Hall’s marriage theorem”是个什么东西吧。

通俗的说，就是大厅里有一群( n 个)汉子和一群( n 个)妹子在配对，每个汉子都会有一些心仪的妹子，每个妹子也有一些心仪的汉子，那么你想知道这 2n 个人能不能完全配对，只需要任意抓出一些汉子（妹子），看他们心仪的妹子（汉子）的个数是不是大于等于抓出来的这些汉子（妹子）的个数。如果我随便抓都满足这个条件，那么说明这 2n 个人是可以完全配对的，如果我抓出了一部分汉子，发现他们总共能看得上的妹子都没他们人多，则说明这 2n 个人是不能够完全匹配的。

举个简单的例子，有四个汉子{A,B,C,D}，四个妹子{1,2,3,4}，假设他们的口味是这个样子的：

A => {1, 2, 3}
B => {4}
C => {3, 4}
D => {3}
1 => {A, B, C}
2 => {B, C, D}
3 => {B, C}
4 => {C}

那么我们发现，如果我们抓了三个汉子{B, C, D}，发现他们三个人总共也就喜欢两个妹子{3, 4}，所以可以说明这 2n 个人是不可能完全匹配的。

但是如果我们不看这四个汉子，只管这四个妹子的口味（也就是说汉子匹配到的妹子可能是他不喜欢的），那么是存在完全匹配的，因为我变抓一部分妹子出来，都可以发现他们喜欢的汉子个数都不比他们人少，所以，是可以完美匹配的(例如：1 -> A 2 -> D 3 -> B 4 -> C)

那么回过头来看刚才那个骨牌覆盖的问题，我们就可以很轻易的构造出不满足的情况：

根据’Hall’s marriage theorem’， 我们可以把白格想象成妹子，黑格想想成汉子，那么不能完美覆盖的情况就是这个棋盘我随便抓几个黑格出来，发现他们周围的白格数比黑格数还少。

我们可以先画两个黑格（因为只有一个黑格时肯定不可能的），然后为了要连通，所以只能在两个黑格之间填一个白格，也就是这样：

我们想让这两个黑格总共只有一个相邻的白格，所以我没有办法再加一个白格满足这个条件，因此，我们还需要一个黑格，然后再加上两个白格平衡，也就是这样：

这样左下方的两个黑格他们的周围总共只有1个白格，说明这个棋盘是没有办法被完全覆盖的。当然这个棋盘我们可以把它看成是 3∗4 的棋盘挖掉了 3 个白格 3 个黑格的结果。

文中还提到了Hall’s marriage theorem的一个有趣的应用：

我们可以拿一副牌，去掉大小王总共52张，然后把这副牌随机分成 13 堆，每堆 4 张，我总能够有办法从每堆里拿出 1 张，使得拿出来的这 13 张构成一个顺子（A到K）。

等等，还没完。

我们把这 13 张牌放一边，这时候还是有 13 堆，每堆有 3 张，这时候再在每一堆里拿出一张，还能够使得拿出来的这 13 张构成一个顺子。以此类推，再在剩下的 13 堆中再取出一张还能构成顺子，最后每堆剩下一张，这 13 张也是个顺子。

当然，无论怎么洗牌怎么分牌，这都是成立的哦，可以用Hall’s marriage theorem来证明（提示：不可能有{A, …, K}的某个子集，他们所在的总堆数小于他们的个数）。