题目大意:
就是现在对于一个H*W的棋盘从点(1, 1)走到(H, W), 每次只能x++或者y++地走, 其中棋盘上有n个点是坏点, 也就是不能走的点, 那么从(1, 1)到(H, W)不经过这n个坏点的路径有多少种, H, W <= 100000, n <= 2000
大致思路:
首先在不考虑坏点的情况下, 从(x1, y1)走到(x2, y2), x2 >= x1, y2 >= y1一共有C(x2 - x1 + y2 - y1, x2 - x1)种方案
那么考虑坏点的情况要去除掉
先将所有坏点坐标按照x第一关键字, y第二关键字排序
用dp[i]表示当前从起点到达第i个坏点没有经过任何其他坏点的路径数
那么对于第i个坏点 dp[i] = C(xi - 1 + yi - 1, xi - 1) - sigma(dp[j]*C(xi - xj + yi - yj, xi - xj))
其中j < i且满足xj <= xi, yj <= yi, 由于dp[j]表示的是直到到达j点前面都没有经过坏点的路径, 对于j < i的所有j, dp[k]*C(xi - xj + yi - yj, xi - xj)表示的路径之间是没有重复的
于是时间复杂度为O(nlogn + n*n), 注意组合数可以预处理阶乘, 当然由于这题时限卡的不是很紧, 不用预处理阶乘的逆元, 每次直接求逆元也可以过....
代码如下:
Result : Accepted Memory : 1608 KB Time : 1170 ms
/* * Author: Gatevin * Created Time: 2015/8/14 12:49:15 * File Name: Sakura_Chiyo.cpp */ #include<iostream> #include<sstream> #include<fstream> #include<vector> #include<list> #include<deque> #include<queue> #include<stack> #include<map> #include<set> #include<bitset> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cctype> #include<cmath> #include<ctime> #include<iomanip> using namespace std; const double eps(1e-8); typedef long long lint; const lint mod = 1e9 + 7; struct point { int x, y; point(){} }; bool cmp(point p1, point p2) { return p1.x < p2.x || (p1.x == p2.x && p1.y < p2.y); } point p[2020]; int H, W, n; lint dp[2020]; lint fac[200010]; lint quick(lint base, lint pow) { lint ret = 1; while(pow) { if(pow & 1) ret = ret*base % mod; pow >>= 1; base = base*base % mod; } return ret; } lint C(lint x, lint y) { return fac[x]*quick(fac[y]*fac[x - y] % mod, mod - 2) % mod; } int main() { fac[0] = 1; for(int i = 1; i < 200010; i++) fac[i] = fac[i - 1]*i % mod; scanf("%d %d %d", &H, &W, &n); for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d %d", &p[i].x, &p[i].y); p[0].x = p[0].y = 1; p[n + 1].x = H, p[n + 1].y = W; sort(p, p + n + 2, cmp); dp[0] = 1; for(int i = 1; i <= n + 1; i++) { dp[i] = C(p[i].x - p[0].x + p[i].y - p[0].y, p[i].x - p[0].x); for(int j = 1; j < i; j++) if(p[j].y <= p[i].y) dp[i] = (dp[i] - dp[j]*C(p[i].x - p[j].x + p[i].y - p[j].y, p[i].x - p[j].x) % mod + mod) % mod; } printf("%I64d\n", dp[n + 1]); return 0; }