[POJ 3164] Command Network 有向图的最小树形图（朱刘算法）

Command Network

题目链接：http://poj.org/problem?id=3164

题目大意：

有一副有向图，要求从根节点起能访问到所有的结点，且路径最短。即求最小树形图。

========================== 分割线之下摘自Sasuke_SCUT的blog==================================================
最 小树形图，就是给有向带权图中指定一个特殊的点root，求一棵以root为根的有向生成树T，并且T中所有边的总权值最小。最小树形图的第一个算法是 1965年朱永津和刘振宏提出的复杂度为O(VE)的算法。
判断是否存在树形图的方法很简单，只需要以v为根作一次图的遍历就可以了，所以下面的 算法中不再考虑树形图不存在的情况。
在所有操作开始之前，我们需要把图中所有的自环全都清除。很明显，自环是不可能在任何一个树形图上的。只有进 行了这步操作，总算法复杂度才真正能保证是O(VE)。
首先为除根之外的每个点选定一条入边，这条入边一定要是所有入边中最小的。现在所有的最小 入边都选择出来了，如果这个入边集不存在有向环的话，我们可以证明这个集合就是该图的最小树形图。这个证明并不是很难。如果存在有向环的话，我们就要将这 个有向环所称一个人工顶点，同时改变图中边的权。假设某点u在该环上，并设这个环中指向u的边权是in[u]，那么对于每条从u出发的边(u, i, w)，在新图中连接(new, i, w)的边，其中new为新加的人工顶点; 对于每条进入u的边(i, u, w)，在新图中建立边(i, new, w-in[u])的边。为什么入边的权要减去in[u]，这个后面会解释，在这里先给出算法的步骤。然后可以证明，新图中最小树形图的权加上旧图中被收缩 的那个环的权和，就是原图中最小树形图的权。
上面结论也不做证明了。现在依据上面的结论，说明一下为什么出边的权不变，入边的权要减去in [u]。对于新图中的最小树形图T，设指向人工节点的边为e。将人工节点展开以后，e指向了一个环。假设原先e是指向u的，这个时候我们将环上指向u的边 in[u]删除，这样就得到了原图中的一个树形图。我们会发现，如果新图中e的权w'(e)是原图中e的权w(e)减去in[u]权的话，那么在我们删除 掉in[u]，并且将e恢复为原图状态的时候，这个树形图的权仍然是新图树形图的权加环的权，而这个权值正是最小树形图的权值。所以在展开节点之后，我们 得到的仍然是最小树形图。逐步展开所有的人工节点，就会得到初始图的最小树形图了。
如果实现得很聪明的话，可以达到找最小入边O(E)，找环 O(V)，收缩O(E)，其中在找环O(V)这里需要一点技巧。这样每次收缩的复杂度是O(E)，然后最多会收缩几次呢？由于我们一开始已经拿掉了所有的 自环，我门可以知道每个环至少包含2个点，收缩成1个点之后，总点数减少了至少1。当整个图收缩到只有1个点的时候，最小树形图就不不用求了。所以我们最 多只会进行V-1次的收缩，所以总得复杂度自然是O(VE)了。由此可见，如果一开始不除去自环的话，理论复杂度会和自环的数目有关。
======================== 分割线之上摘自Sasuke_SCUT的blog=====================================================

下 面是朱刘算法的构造图

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<set>
#include<ctype.h>
#include<algorithm>
#include<string>
#define PI acos(-1.0)
#define maxn 110
#define INF 1<<25
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
typedef long long ll;
typedef double type;
using namespace std;
int n, m;
struct point
{
    double x, y;
}p[maxn];
struct node
{
    int u, v;
    type w;
}e[maxn * maxn];
double dis(point a, point b)
{
    return sqrt( (a.x - b.x) * (a.x - b.x) + (a.y - b.y) * (a.y - b.y));
}
void init()
{
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d%d", &e[i].u, &e[i].v);
        e[i].u--, e[i].v--;
        if (e[i].u != e[i].v) e[i].w = dis(p[e[i].u], p[e[i].v]);
        else e[i].w = INF; // 去除自环
    }
}
int pre[maxn], id[maxn], vis[maxn];
type in[maxn];
type Directed_MST(int root, int NV, int NE)
{
	type ret = 0;
	while(true)
    {
		//1.找最小入边
		for (int i = 0; i < NV; i++) in[i] = INF;
		for (int i = 0; i < NE; i++)
		{
			int u = e[i].u;
			int v = e[i].v;
			if(e[i].w < in[v] && u != v)
			{
				pre[v] = u;
				in[v] = e[i].w;
			}
		}
		for (int i = 0; i < NV; i++)
		{
			if(i == root) continue;
			if(in[i] == INF) return -1; //除了根以外有点没有入边,则根无法到达它
		}
		//2.找环
		int cntnode = 0;
		mem(id,-1);
        mem(vis, -1);
		in[root] = 0;
		for (int i = 0; i < NV; i++)
        {//标记每个环
			ret += in[i];
			int v = i;
			while(vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root)
            {
				vis[v] = i;
				v = pre[v];
			}
			if(v != root && id[v] == -1)
            {
				for(int u = pre[v] ; u != v ; u = pre[u])
					id[u] = cntnode;
				id[v] = cntnode ++;
			}
		}
		if(cntnode == 0) break;//无环
		for (int i = 0; i < NV; i++) if(id[i] == -1)
			id[i] = cntnode ++;
		//3.缩点,重新标记
		for (int i = 0; i < NE; i++)
		{
			int v = e[i].v;
			e[i].u = id[e[i].u];
			e[i].v = id[e[i].v];
			if(e[i].u != e[i].v) e[i].w -= in[v];
		}
		NV = cntnode;
		root = id[root];
	}
	return ret;
}

int main ()
{
    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    {
        init();
        type ans = Directed_MST(0, n, m);
        if (ans == -1) puts("poor snoopy");
        else printf("%.2f\n", ans);
    }
    return 0;
}