单变量微积分（03）：Limits and Continuity

1. 极限

简单的极限，我们可以通过直接代入法求解，如：

limx→3x2+xx+1=3

我们知道我们在利用极限求导数时：

limx→x0ΔfΔx=limx→x0f(x0+Δx)−f(x0)Δx

如果直接用代入法的话，会出现分母为0的情况。

2. 连续

连续的定义：

We say f(x) is continuous at x0 when

limx→x0f(x)=f(x0)

四类不连续点

1. Removable Discontinuity

Right-hand limit: limx→x+0f(x) means limx→x0f(x) for x>x0 .
Left-hand limit: limx→x−0f(x) means limx→x0f(x) for x<x0 .

If limx→x+0f(x)=limx→x−0f(x) but this is not f(x0) , or if f(x0) is undefined, we say the discontinuity is removable.

比如说 sinxx,x≠0 。

2. Jump Discontinuity

limx→x+0f(x) for( x<x0 ) exists, and limx→x−0f(x) for( x>x0 )also exists, but they are NOT equal.

3. Infinite Discontinuity

Right-hand limit:

limx→0+1x=∞

Left-hand limit:

limx→0−1x=−∞

4. Other(Ugly) discontinuity

This function doesn’t even go to ±∞ — it doesn’t make sense to say it goes to anything. For something like this, we say the limit does not exist.

3. 两个三角函数的极限

注意下面的表达式中 θ 代表弧度，而不是角度。

limθ→0sinθθ=1;

limθ→01−cosθθ=0;

几何证明：

当上图中的角度 θ 变得非常小的时候，我们可以看出半弦长( sinθ )越来越接近半弧长( θ )。

从上图中可以看出当角度变得越来越小时， 1−cosθ 相对于 θ 来显得越来越小。

4. 定理：可微则一定连续

If f is differentiable at x0 , then f is continuous at x0 .

Proof:

limx→x0(f(x)−f(x0))=limx→x0[f(x)−f(x0)x−x0](x−x0)=f′(x0)⋅0=0