Tarjan求有向图的强连通分量(Tarjan算法描述)

 

Tarjan求有向图的强连通分量(Tarjan算法描述)

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算法 struct

        强连通分量是有向图中的概念,我们先说强连通分量的定义吧:在一个图的子图中,任意两个点相互可达,也就是存在互通的路径,那么这个子图就是强连通分量(或者称为强连通分支)。如果一个有向图的任意两个点相互可达,那么这个图就称为强连通图。

        我们常用的求强连通分量的算法有两个,一个是Kosaraju算法,这个算法是基于两次dfs来实现的;还有一个就是Tarjan算法,这个算法完成一次dfs就可以找到图中的强连通分支。我的这篇文章主要介绍Tarjan算法。

       Tarjan算法是基于这样一个原理:如果u是某个强连通分量的根,那么:

(1)u不存在路径可以返回到它的祖先

(2)u的子树也不存在路径可以返回到u的祖先。

        因此我们在实现Tarjan算法的时候,使用dfsnum[i]记录节点i被访问的时间,也可以理解为在访问该点之前已经访问的点的个数。然后使用数组low[i]记录点i或者i的子树最小可以返回到的节点(在栈中)的次序号。

        这里还要说一下low[i]的更新过程,

if(v是i向下dfs的树边) low[i]=min(low[i],low[v]);//这里也就是说low[i]表示i或者i的子树所能追回到的最小的点序号。

if(v不是树边也不是横叉边) low[i]=min(low[i],dfsnum[v]);//其实这里你直接更新成low[v]代替dfsnum[v]也是可以的

        根据上面的原理,我们可以发现只有当dfsnum[i]==low[i]的时候就正好是强连通分量的根。这个时候我们把在栈中的点(在遇到根之前在栈中的点)出栈,并且标记好点所属的强连通分支的编号。

        整个Tarjan算法跑下来就可以完成强连通分支的求解了。

        下面我贴上我的在HDU 1269上判断一个图是否是强连通图的代码,这个代码其实就完成了Tarjan算法,最后只要简单判断下整个图是否是只有一个强连通分支就可以了。

[cpp]  view plain copy
  1. #include <string.h>  
  2. #include <stdio.h>  
  3. #include <stdlib.h>  
  4. #define MAX 100010  
  5. int dfsnum[MAX],dfsNum,low[MAX];  
  6. int sccnum[MAX],sccNum;  
  7. int instack[MAX],st[MAX],top;  
  8.   
  9. typedef struct EDGE  
  10. {  
  11.     int v,next;  
  12. }edge;  
  13. edge e[MAX];  
  14. int edgeNum;  
  15. int head[MAX];  
  16.   
  17. void insertEdge(int a,int b)  
  18. {  
  19.     e[edgeNum].v=b;  
  20.     e[edgeNum].next=head[a];  
  21.     head[a]=edgeNum++;  
  22. }  
  23.   
  24. void Tarjan(int i)  
  25. {  
  26.     dfsnum[i]=low[i]=++dfsNum;  
  27.     st[top++]=i;  
  28.     instack[i]=1;  
  29.     int j=head[i];  
  30.     for(j=head[i];j!=-1;j=e[j].next)  
  31.     {  
  32.         int v=e[j].v;  
  33.         if(dfsnum[v]==0)//为树边  
  34.         {  
  35.             Tarjan(v);  
  36.             if(low[i]>low[v])  
  37.                 low[i]=low[v];  
  38.         }  
  39.         else if(instack[v])  
  40.         {  
  41.             if(low[i]>dfsnum[v])  
  42.                 low[i]=dfsnum[v];  
  43.         }  
  44.     }  
  45.     if(dfsnum[i]==low[i])  
  46.     {  
  47.         do  
  48.         {  
  49.             top--;  
  50.             sccnum[st[top]]=sccNum;  
  51.             instack[st[top]]=0;  
  52.         }while(top>=0&&st[top]!=i);  
  53.         sccNum++;  
  54.     }  
  55. }  
  56. void solve(int n)  
  57. {  
  58.     int i;  
  59.     memset(dfsnum,0,sizeof(dfsnum));  
  60.     memset(instack,0,sizeof(instack));  
  61.     dfsNum=0;  
  62.     top=0;  
  63.     sccNum=0;  
  64.     for(i=1;i<=n;i++)  
  65.     {  
  66.         if(dfsnum[i]==0)  
  67.             Tarjan(i);  
  68.     }  
  69. }  
  70. int main()  
  71. {  
  72.     int n,m;  
  73.     int a,b,i;  
  74.     while(scanf("%d %d",&n,&m))  
  75.     {  
  76.         if(m==0&&n==0)  
  77.             break;  
  78.         memset(head,-1,sizeof(head));  
  79.         edgeNum=0;  
  80.         for(i=0;i<m;i++)  
  81.         {  
  82.             scanf("%d %d",&a,&b);  
  83.             insertEdge(a,b);  
  84.         }  
  85.         solve(n);  
  86.         if(sccNum==1)  
  87.             printf("Yes\n");  
  88.         else  
  89.             printf("No\n");  
  90.     }  
  91.     return 0;  
  92. }  

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