Tarjan求有向图的强连通分量（Tarjan算法描述）

 

Tarjan求有向图的强连通分量（Tarjan算法描述）

分类： 算法整理 2011-07-12 23:18  1226人阅读  评论(0)  收藏  举报

算法 struct

        强连通分量是有向图中的概念，我们先说强连通分量的定义吧：在一个图的子图中，任意两个点相互可达，也就是存在互通的路径，那么这个子图就是强连通分量（或者称为强连通分支）。如果一个有向图的任意两个点相互可达，那么这个图就称为强连通图。

        我们常用的求强连通分量的算法有两个，一个是Kosaraju算法，这个算法是基于两次dfs来实现的；还有一个就是Tarjan算法，这个算法完成一次dfs就可以找到图中的强连通分支。我的这篇文章主要介绍Tarjan算法。

       Tarjan算法是基于这样一个原理：如果u是某个强连通分量的根，那么：

（1）u不存在路径可以返回到它的祖先

（2）u的子树也不存在路径可以返回到u的祖先。

        因此我们在实现Tarjan算法的时候，使用dfsnum[i]记录节点i被访问的时间，也可以理解为在访问该点之前已经访问的点的个数。然后使用数组low[i]记录点i或者i的子树最小可以返回到的节点（在栈中）的次序号。

        这里还要说一下low[i]的更新过程，

if(v是i向下dfs的树边) low[i]=min(low[i],low[v]);//这里也就是说low[i]表示i或者i的子树所能追回到的最小的点序号。

if(v不是树边也不是横叉边) low[i]=min(low[i],dfsnum[v]);//其实这里你直接更新成low[v]代替dfsnum[v]也是可以的

        根据上面的原理，我们可以发现只有当dfsnum[i]==low[i]的时候就正好是强连通分量的根。这个时候我们把在栈中的点（在遇到根之前在栈中的点）出栈，并且标记好点所属的强连通分支的编号。

        整个Tarjan算法跑下来就可以完成强连通分支的求解了。

        下面我贴上我的在HDU 1269上判断一个图是否是强连通图的代码，这个代码其实就完成了Tarjan算法，最后只要简单判断下整个图是否是只有一个强连通分支就可以了。

 #include <string.h>
 #include <stdio.h>
 #include <stdlib.h>
 #define MAX 100010
 int dfsnum[MAX],dfsNum,low[MAX];
 int sccnum[MAX],sccNum;
 int instack[MAX],st[MAX],top;

 typedef struct EDGE
 {
     int v,next;
 }edge;
 edge e[MAX];
 int edgeNum;
 int head[MAX];

 void insertEdge(int a,int b)
 {
     e[edgeNum].v=b;
     e[edgeNum].next=head[a];
     head[a]=edgeNum++;
 }

 void Tarjan(int i)
 {
     dfsnum[i]=low[i]=++dfsNum;
     st[top++]=i;
     instack[i]=1;
     int j=head[i];
     for(j=head[i];j!=-1;j=e[j].next)
     {
         int v=e[j].v;
         if(dfsnum[v]==0)//为树边
         {
             Tarjan(v);
             if(low[i]>low[v])
                 low[i]=low[v];
         }
         else if(instack[v])
         {
             if(low[i]>dfsnum[v])
                 low[i]=dfsnum[v];
         }
     }
     if(dfsnum[i]==low[i])
     {
         do
         {
             top--;
             sccnum[st[top]]=sccNum;
             instack[st[top]]=0;
         }while(top>=0&&st[top]!=i);
         sccNum++;
     }
 }
 void solve(int n)
 {
     int i;
     memset(dfsnum,0,sizeof(dfsnum));
     memset(instack,0,sizeof(instack));
     dfsNum=0;
     top=0;
     sccNum=0;
     for(i=1;i<=n;i++)
     {
         if(dfsnum[i]==0)
             Tarjan(i);
     }
 }
 int main()
 {
     int n,m;
     int a,b,i;
     while(scanf("%d %d",&n,&m))
     {
         if(m==0&&n==0)
             break;
         memset(head,-1,sizeof(head));
         edgeNum=0;
         for(i=0;i<m;i++)
         {
             scanf("%d %d",&a,&b);
             insertEdge(a,b);
         }
         solve(n);
         if(sccNum==1)
             printf("Yes\n");
         else
             printf("No\n");
     }
     return 0;
 }