利用辗转相除法求两数的最大公约数和最小公倍数（附源码）

输入两个正整数m和n, 求其最大公约数和最小公倍数.

<1> 用辗转相除法求最大公约数
算法描述:
m对n求余为a, 若a不等于0
则 m <- n, n <- a, 继续求余
否则 n 为最大公约数
<2> 最小公倍数 = 两个数的积 / 最大公约数

 

关于辗转相除法, 搜了一下, 在我国古代的《九章算术》中就有记载，现摘录如下:

约分术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法，实际上就是辗转相除法。

 

那么，这辗转相除法为什么能得到最大公约数呢？下面我就给大伙谈谈。

比如说有要求a、b两个整数的最大公约数，a＞b，那么我们先用a除以b，得到商8，余数r1：a÷b＝q1…r1我们当然也可以把上面这个式子改写成乘法式：a＝bq1＋r1------l）

如果r1＝0，那么b就是a、b的最大公约数3。要是r1≠0，就继续除，用b除以r1，我们也可以有和上面一样的式子：

b＝r1q2＋r2-------2）

如果余数r2＝0，那么r1就是所求的最大公约数3。为什么呢？因为如果2）式变成了b＝r1q2，那么b1r1的公约数就一定是a1b的公约数。这是因为一个数能同时除尽b和r1，那么由l）式，就一定能整除a，从而也是a1b的公约数。

反过来，如果一个数d，能同时整除a1b，那么由1）式，也一定能整除r1，从而也有d是b1r1的公约数。

这样，a和b的公约数与b和r1的公约数完全一样，那么这两对的最大公约数也一定相同。那b1r1的最大公约数，在r1＝0时，不就是r1吗？所以a和b的最大公约数也是r1了。

有人会说，那r2不等于0怎么办？那当然是继续往下做，用r1除以r2，……直到余数为零为止。

在这种方法里，先做除数的，后一步就成了被除数，这就是辗转相除法名字的来历吧。

 

以下是辗转相除法的c语言实现源码：

 

 

//求两个数的最大公约数和最小公倍数；利用辗转相除算法；
#include<stdio.h>

int gcd(int m,int n)
{
 if(m%n==0)
  return n;
 else
  return gcd(n,m%n);
}//辗转相除法求最大公约数的递归实现；

int main()
{
 int a,b,Divisor,Multiple;
 printf("Input Two Integers：");
 scanf("%d %d",&a,&b);
 if(a<=0||b<=0)
 {
  printf("Input Error!/n");
  return 0;
 }
 else
 {
  Divisor = gcd(a,b);//求最大公约数；
  Multiple = a*b/Divisor;//求最小公倍数——最大公约数*最小公倍数＝两数之积
  printf("The Greatest Divisor is:%d/n",Divisor);
  printf("The Lesat Multiple is:%d/n",Multiple);
  return 0;
 }

}