（算法）Tarjan离线算法解决LCA问题 （附POJ 1470 Closest Common Ancestors 代码）

分类： 算法整理 2011-07-15 22:25  1335人阅读  评论(0)  收藏  举报

算法 c ini

       对于最近公共祖先问题，我们先来看这样一个性质，当两个节点（u，v）的最近公共祖先是x时，那么我们可以确定的说，当进行后序遍历的时候，必然先访问完x的所有子树，然后才会返回到x所在的节点。这个性质就是我们使用Tarjan算法解决最近公共祖先问题的核心思想。

      同时我们会想这个怎么能够保证是最近的公共祖先呢？我们这样看，因为我们是逐渐向上回溯的，所以我们每次访问完某个节点x的一棵子树，我们就将该子树所有节点放进该节点x所在的集合，并且我们设置这个集合所有元素的祖先是该节点x。那么到我们完成对一个节点的所有子树的访问时，我们将这个节点标记为已经找到了祖先的点。

       这个时候就体现了Tarjan采用离线的方式解决最近公共祖先的问题特点所在了，所以这个时候就体现了这一点。假设我们刚刚已经完成访问的节点是a，那么我们看与其一同被询问的另外一个点b是否已经被访问过了，若已经被访问过了，那么这个时候最近公共祖先必然是b所在集合对应的祖先c，因为我们对a的访问就是从最近公共祖先c转过来的，并且在从c的子树b转向a的时候，我们已经将b的祖先置为了c，同时这个c也是a的祖先，那么c必然是a、b的最近公共祖先。

       对于一棵子树所有节点，祖先都是该子树的根节点，所以我们在回溯的时候，时常要更新整个子树的祖先，为了方便处理，我们使用并查集维护一个集合的祖先。总的时间复杂度是O(n+q)的，因为dfs是O(n)的，然后对于询问的处理大概就是O(q)的。

       这就是离线的Tarjan算法，可能说起来比较难说清楚，但是写起来还是比较好写。下面贴上我在POJ 1470上过的题的代码，简单的LCA问题的求解。

 /*
 author UESTC_Nowitzki
 */

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <cstdlib>
 #include <vector>
 using namespace std;
 const int MAX=1000;
 int indegree[MAX];
 int ancestor[MAX];
 int set[MAX];
 int vis[MAX];
 int time[MAX];
 vector<int> adj[MAX];
 vector<int> que[MAX];

 void init(int n)
 {
     memset(time,0,sizeof(time));
     memset(vis,0,sizeof(vis));
     memset(indegree,0,sizeof(indegree));
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {
         adj[i].clear();
         que[i].clear();
         set[i]=i;
         ancestor[i]=i;
     }
 }

 int find(int k)
 {
     int r=k;
     while(set[r]!=r)
         r=set[r];
     int i=k,j;
     while(set[i]!=r)
     {
         j=set[i];
         set[i]=r;
         i=j;
     }
     return r;
 }

 void dfs(int i)
 {
     int len=adj[i].size();
     for(int j=0;j<len;j++)
     {
         int son=adj[i][j];
         dfs(son);
         set[son]=i;
         ancestor[find(i)]=i;
     }
     vis[i]=1;
     len=que[i].size();
     for(int j=0;j<len;j++)
     {
         int son=que[i][j];
         if(vis[son])
         {
             int ans=ancestor[find(son)];
             time[ans]++;
         }
     }
 }

 int main()
 {
     int n,i,t,a,b;
     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
     {
         init(n);
         for(i=0;i<n;i++)
         {
             scanf("%d:(%d)",&a,&t);
             while(t--)
             {
                 scanf("%d",&b);
                 indegree[b]++;
                 adj[a].push_back(b);
             }
         }
         scanf("%d",&t);
         while(t--)
         {
             while(getchar()!='(');
             scanf("%d%d",&a,&b);
             que[a].push_back(b);
             que[b].push_back(a);
         }
         while(getchar()!=')');
         for(i=1;i<=n;i++)
         {
             if(indegree[i]==0)
             {
   //              printf("root=%d\n",i);
                 dfs(i);
                 break;
             }
         }
         for(i=1;i<=n;i++)
         {
             if(time[i]>0)
                 printf("%d:%d\n",i,time[i]);
         }
     }
     return 0;
 }