C语言常用算法

一、基本算法 

1．交换（两量交换借助第三者）

例1、任意读入两个整数，将二者的值交换后输出。

  main()

{int a,b,t;

 scanf("%d%d",&a,&b);

 printf("%d,%d\n",a,b);

 t=a;  a=b;  b=t;

 printf("%d,%d\n",a,b);}

【解析】程序中加粗部分为算法的核心，如同交换两个杯子里的饮料，必须借助第三个空杯子。

假设输入的值分别为3、7，则第一行输出为3，7；第二行输出为7，3。

其中t为中间变量，起到“空杯子”的作用。

注意：三句赋值语句赋值号左右的各量之间的关系！

【应用】

例2、任意读入三个整数，然后按从小到大的顺序输出。

main()

{int a,b,c,t;

 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

 /*以下两个if语句使得a中存放的数最小*/

 if(a>b){ t=a; a=b; b=t; }

 if(a>c){ t=a; a=c; c=t; }

 /*以下if语句使得b中存放的数次小*/

 if(b>c) { t=b; b=c; c=t; }

 printf("%d,%d,%d\n",a,b,c);}

2．累加

累加算法的要领是形如“s=s+A”的累加式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累加功能。“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值，通常为0。

例1、求1+2+3+……+100的和。

main()

{int i,s;

 s=0;    i=1;

 while(i<=100)

 {s=s+i;        /*累加式*/

  i=i+1;        /*特殊的累加式*/

 }

 printf("1+2+3+...+100=%d\n",s);}

【解析】程序中加粗部分为累加式的典型形式，赋值号左右都出现的变量称为累加器，其中“i = i + 1”为特殊的累加式，每次累加的值为1，这样的累加器又称为计数器。

3．累乘

累乘算法的要领是形如“s=s*A”的累乘式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累乘功能。“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值，通常为1。

例1、求10！

[分析]10！=1×2×3×……×10

main()

{int i;  long c;

 c=1;  i=1;

 while(i<=10)

 {c=c*i;      /*累乘式*/

  i=i+1;

 }

 printf("1*2*3*...*10=%ld\n",c);}

二、非数值计算常用经典算法

1．穷举

也称为“枚举法”，即将可能出现的每一种情况一一测试，判断是否满足条件，一般采用循环来实现。

例1、用穷举法输出所有的水仙花数（即这样的三位正整数：其每位数位上的数字的立方和与该数相等，比如：13+53+33=153）。

[法一]

main()

{int x,g,s,b;

 for(x=100;x<=999;x++)

  {g=x%10;  s=x/10%10;  b=x/100;

   if(b*b*b+s*s*s+g*g*g==x)printf("%d\n",x);}

}

【解析】此方法是将100到999所有的三位正整数一一考察，即将每一个三位正整数的个位数、十位数、百位数一一求出（各数位上的数字的提取算法见下面的“数字处理”），算出三者的立方和，一旦与原数相等就输出。共考虑了900个三位正整数。

[法二]

main()

{int g,s,b;

 for(b=1;b<=9;b++)

  for(s=0;s<=9;s++)

   for(g=0;g<=9;g++)

    if(b*b*b+s*s*s+g*g*g==b*100+s*10+g)  printf("%d\n",b*100+s*10+g);

}

【解析】此方法是用1到9做百位数字、0到9做十位和个位数字，将组成的三位正整数与每一组的三个数的立方和进行比较，一旦相等就输出。共考虑了900个组合（外循环单独执行的次数为9，两个内循环单独执行的次数分别为10次，故if语句被执行的次数为9×10×10=900），即900个三位正整数。与法一判断的次数一样。

2．排序

（1）冒泡排序（起泡排序）

假设要对含有n个数的序列进行升序排列，冒泡排序算法步骤是：

①从存放序列的数组中的第一个元素开始到最后一个元素，依次对相邻两数进行比较，若前者大后者小，则交换两数的位置；

②第①趟结束后，最大数就存放到数组的最后一个元素里了，然后从第一个元素开始到倒数第二个元素，依次对相邻两数进行比较，若前者大后者小，则交换两数的位置；

③重复步骤①n-1趟，每趟比前一趟少比较一次，即可完成所求。

例1、任意读入10个整数，将其用冒泡法按升序排列后输出。

#define n 10 

main()

{int a[n],i,j,t;

 for(i=0;i<n;i++)  scanf("%d",&a[i]);

 for(j=1;j<=n-1;j++) /*n个数处理n-1趟*/

  for(i=0;i<=n-1-j;i++)  /*每趟比前一趟少比较一次*/

   if(a[i]>a[i+1]){t=a[i];a[i]=a[i+1];a[i+1]=t;}

 for(i=0;i<n;i++) printf("%d\n",a[i]);}

（2）选择法排序

选择法排序是相对好理解的排序算法。假设要对含有n个数的序列进行升序排列，算法步骤是：

①从数组存放的n个数中找出最小数的下标（算法见下面的“求最值”），然后将最小数与第1个数交换位置；

②除第1个数以外，再从其余n-1个数中找出最小数（即n个数中的次小数）的下标，将此数与第2个数交换位置；

③重复步骤①n-1趟，即可完成所求。

例1、任意读入10个整数，将其用选择法按升序排列后输出。

#define n 10 

main()

{int a[n],i,j,k,t;

 for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);

 for(i=0;i<n-1;i++)         /*处理n-1趟*/

   {k = i;      /*总是假设此趟处理的第一个（即全部数的第i个）数最小，k记录其下标*/

    for(j=i+1;j<n;j++)

      if(a[j] < a[k])  k = j;

    if (k != i){t = a[i]; a[i] = a[k]; a[k] = t;}

   } 

 for(i=0;i<n;i++)

  printf("%d\n",a[i]); }

（3）插入法排序

要想很好地掌握此算法，先请了解“有序序列的插入算法”，就是将某数据插入到一个有序序列后，该序列仍然有序。插入算法参见下面的“数组元素的插入”。

例1、将任意读入的整数x插入一升序数列后，数列仍按升序排列。

#define n 10

main()

{ int a[n]={-1,3,6,9,13,22,27,32,49},x,j,k; /*注意留一个空间给待插数*/

  scanf("%d",&x);

  if(x>a[n-2]) a[n-1]=x ; /*比最后一个数还大就往最后一个元素中存放*/

  else   /*查找待插位置*/

  {j=0;

   while( j<=n-2 && x>a[j]) j++;

  /*从最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/

   for(k=n-2; k>=j; k- -)  a[k+1]=a[k];

   a[j]=x; /*插入待插数*/ }

   for(j=0;j<=n-1;j++)  printf("%d  ",a[j]);

}

插入法排序的要领就是每读入一个数立即插入到最终存放的数组中，每次插入都使得该数组有序。

例2、任意读入10个整数，将其用插入法按降序排列后输出。

#define n 10 

main()

{int a[n],i,j,k,x;

 scanf("%d",&a[0]);  /*读入第一个数，直接存到a[0]中*/

 for(j=1;j<n;j++)   /*将第2至第10个数一一有序插入到数组a中*/

  {scanf("%d",&x); 

   if(x<a[j-1]) a[j]=x;  /*比原数列最后一个数还小就往最后一个元素之后存放新读的数*/

   else   /*以下查找待插位置*/

    {i=0;

     while(x<a[i]&&i<=j-1) i++;

     /*以下for循环从原最后一个数开始直到待插位置上的数依次后移一位*/

     for(k=j-1;k>=i;k--) a[k+1]=a[k];

     a[i]=x;    /*插入待插数*/

     }

  }

 for(i=0;i<n;i++)  printf("%d\n",a[i]);

}

（4）归并排序 

     即将两个都升序（或降序）排列的数据序列合并成一个仍按原序排列的序列。

例1、有一个含有6个数据的升序序列和一个含有4个数据的升序序列，将二者合并成一个含有10个数据的升序序列。

#define m 6

#define n 4

main()

{int a[m]={-3,6,19,26,68,100} ,b[n]={8,10,12,22};

 int i,j,k,c[m+n];

 i=j=k=0;

 while(i<m && j<n) /*将a、b数组中的较小数依次存放到c数组中*/

  {if(a[i]<b[j]){c[k]=a[i]; i++;}

   else {c[k]=b[j]; j++;}

   k++; }

 while(i>=m && j<n) /*若a中数据全部存放完毕，将b中余下的数全部存放到c中*/

 {c[k]=b[j]; k++; j++;}

 while(j>=n && i<m) /*若b中数据全部存放完毕，将a中余下的数全部存放到c中*/

 {c[k]=a[i]; k++; i++;}

 for(i=0;i<m+n;i++)  printf("%d  ",c[i]);

}

3．查找

（1）顺序查找（即线性查找）

顺序查找的思路是：将待查找的量与数组中的每一个元素进行比较，若有一个元素与之相等则找到；若没有一个元素与之相等则找不到。

例1、任意读入10个数存放到数组a中，然后读入待查找数值，存放到x中，判断a中有无与x等值的数。

#define N 10

main()

{int a[N],i,x;

 for(i=0;i<N;i++) scanf("%d",&a[i]);

 /*以下读入待查找数值*/

 scanf("%d",&x);

 for(i=0;i<N;i++) if(a[i]==x)break ; /*一旦找到就跳出循环*/

 if(i<N)  printf("Found!\n");

 else  printf("Not found!\n");}

（2）折半查找（即二分法）

顺序查找的效率较低，当数据很多时，用二分法查找可以提高效率。使用二分法查找的前提是数列必须有序。

二分法查找的思路是：要查找的关键值同数组的中间一个元素比较，若相同则查找成功，结束；否则判别关键值落在数组的哪半部分，就在这半部分中按上述方法继续比较，直到找到或数组中没有这样的元素值为止。

例1、任意读入一个整数x，在升序数组a中查找是否有与x等值的元素。

#define n 10

main()

{int a[n]={2,4,7,9,12,25,36,50,77,90};

 int x,high,low,mid;/*x为关键值*/

 scanf("%d",&x);

 high=n-1;  low=0;  mid=(high+low)/2;

 while(a[mid]!=x&&low<high)

  {if(x<a[mid]) high=mid-1;  /*修改区间上界*/

   else low=mid+1;         /*修改区间下界*/

   mid=(high+low)/2; }

 if(x==a[mid]) printf("Found %d,%d\n",x,mid);

 else printf("Not found\n");

}

三、数值计算常用经典算法：

1．级数计算

级数计算的关键是“描述出通项”，而通项的描述法有两种：一为直接法、二为间接法又称递推法。

直接法的要领是：利用项次直接写出通项式；递推法的要领是：利用前一个（或多个）通项写出后一个通项。

可以用直接法描述通项的级数计算例子有：

（1）1+2+3+4+5+……

（2）1+1/2+1/3+1/4+1/5+……等等。

可以用间接法描述通项的级数计算例子有：

（1）1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……

（2）1+1/2!+1/3!+1/4! +1/5!+……等等。

（1）直接法求通项

例1、求1+1/2+1/3+1/4+1/5+……+1/100的和。

main()

{float s; int i;

 s=0.0;

 for(i=1;i<=100;i++) s=s+1.0/i ;

 printf("1+1/2+1/3+...+1/100=%f\n",s);

}

【解析】程序中加粗部分就是利用项次i的倒数直接描述出每一项，并进行累加。注意：因为i是整数，故分子必须写成1.0的形式！

（2）间接法求通项（即递推法）

例2、计算下列式子前20项的和：1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+……。

[分析]此题后项的分子是前项的分母，后项的分母是前项分子分母之和。

main()

{float s,fz,fm,t,fz1;  int i;

 s=1;       /*先将第一项的值赋给累加器s*/

 fz=1;fm=2;

 t=fz/fm;   /*将待加的第二项存入t中*/

 for(i=2;i<=20;i++)

 {s=s+t;

  /*以下求下一项的分子分母*/

  fz1=fz;     /*将前项分子值保存到fz1中*/ 

  fz=fm;      /*后项分子等于前项分母*/

  fm=fz1+fm;  /*后项分母等于前项分子、分母之和*/

  t=fz/fm;}

 printf("1+1/2+2/3+...=%f\n",s);

}

下面举一个通项的一部分用直接法描述，另一部分用递推法描述的级数计算的例子：

例3、计算级数的值，当通项的绝对值小于eps时计算停止。

#include <math.h>

float g(float x,float eps);

main()

{float x,eps;

 scanf("%f%f",&x,&eps);

 printf("\n%f,%f\n",x,g(x,eps));

}

float g(float x,float eps)

{int n=1;float s,t;

 s=1;  t=1;

 do { t=t*x/(2*n);

     s=s+(n*n+1)*t;  /*加波浪线的部分为直接法描述部分，t为递推法描述部分*/

     n++; }while(fabs(t)>eps);

 return s;

}

2．一元非线性方程求根

（1）牛顿迭代法

牛顿迭代法又称牛顿切线法：先任意设定一个与真实的根接近的值x0作为第一次近似根，由x0求出f(x0),过(x0，f(x0))点做f(x)的切线，交x轴于x1，把它作为第二次近似根，再由x1求出f(x1),过(x1，f(x1))点做f(x)的切线，交x轴于x2，……如此继续下去，直到足够接近（比如|x- x0|<1e-6时）真正的根x*为止。

而f '(x0)=f(x0)/( x1- x0)  所以 x1= x0- f(x0)/ f ' (x0)

例如，用牛顿迭代法求下列方程在1.5附近的根：2x3-4x2+3x-6=0。

#include "math.h"

main()

{float x,x0,f,f1;  x=1.5;

 do{x0=x;

    f=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;

    f1=6*x0*x0-8*x0+3;

    x=x0-f/f1; }while(fabs(x-x0)>=1e-5);

 printf ("%f\n",x); }

（2）二分法

算法要领是：先指定一个区间[x1, x2]，如果函数f(x)在此区间是单调变化的，则可以根据f(x1)和 f(x2)是否同号来确定方程f(x)=0在区间[x1, x2]内是否有一个实根；如果f(x1)和 f(x2)同号，则f(x) 在区间[x1, x2]内无实根，要重新改变x1和x2的值。当确定f(x) 在区间[x1, x2]内有一个实根后，可采取二分法将[x1, x2]一分为二，再判断在哪一个小区间中有实根。如此不断进行下去，直到小区间足够小为止。

具体算法如下：

（1）输入x1和x2的值。

（2）求f(x1)和f(x2)。

（3）如果f(x1)和f(x2)同号说明在[x1, x2] 内无实根，返回步骤（1），重新输入x1和x2的值；若f(x1)和f(x2)不同号，则在区间[x1, x2]内必有一个实根，执行步骤（4）。

（4）求x1和x2的中点：x0=（x1+ x2）/2。

（5）求f(x0)。

（6）判断f(x0)与f(x1)是否同号。

①如果同号，则应在[x0, x2]中寻找根，此时x1已不起作用，用x0代替x1，用f(x0)代替f(x1)。

②如果不同号，则应在[x1, x0]中寻找根，此时x2已不起作用，用x0代替x2，用f(x0)代替f(x2)。

（7）判断f(x0)的绝对值是否小于某一指定的值（例如10-5）。若不小于10-5，则返回步骤（4）重复执行步骤（4）、（5）、（6）；否则执行步骤（8）。

（8）输出x0的值，它就是所求出的近似根。

例如，用二分法求方程2x3-4x2+3x-6=0在(-10，10)之间的根。

#include "math.h"

main()

{float x1,x2,x0,fx1,fx2,fx0;

 do  {printf("Enter x1&x2");

      scanf("%f%f",&x1,&x2);

      fx1=2*x1*x1*x1-4*x1*x1+3*x1-6;

      fx2=2*x2*x2*x2-4*x2*x2+3*x2-6;

    }while(fx1*fx2>0);

do {x0=(x1+x2)/2;

     fx0=2*x0*x0*x0-4*x0*x0+3*x0-6;

     if((fx0*fx1)<0)  {x2=x0;  fx2=fx0; }

     else  {x1=x0;  fx1=fx0; }

  }while(fabs(fx0)>1e-5);

  printf("%f\n",x0);}

3．梯形法计算定积分

定积分的几何意义是求曲线y=f(x)、x=a、x=b以及x轴所围成的面积。

可以近似地把面积视为若干小的梯形面积之和。例如，把区间[a, b]分成n个长度相等的

小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n，第i个小梯形的面积为

[f(a+(i-1)·h)+f(a+i·h)]·h/2，将n个小梯形面积加起来就得到定积分的近似值：

根据以上分析，给出“梯形法”求定积分的N-S结构图：

输入区间端点：a，b
输入等分数n
h=(b-a)/2,   s=0
i从1到n
	si=(f(a+(i-1)*h)+f(a+i*h))*h/2
	s=s+si
输出s

上述程序的几何意义比较明显，容易理解。但是其中存在重复计算，每次循环都要计算小梯形的上、下底。其实，前一个小梯形的下底就是后一个小梯形的上底，完全不必重复计

算。为此做出如下改进：

矩形法求定积分则更简单，就是将等分出来的图形当作矩形，而不是梯形。

例如：求定积分的值。等分数n=1000。

#include "math.h"

float DJF(float a,float b)

{float t,h;  int n,i;

 float HSZ(float x);

 n=1000;  h=fabs(a-b)/n;

 t=(HSZ(a)+HSZ(b))/2;

 for(i=1;i<=n-1;i++)  t=t+HSZ(a+i*h);

 t=t*h;

 return(t);

}

float HSZ(float x)

{return(x*x+3*x+2); }

main()

{float y;

 y=DJF(0,4);

 printf("%f\n",y);}

四、其他常见算法

1．迭代法

其基本思想是把一个复杂的计算过程转化为简单过程的多次重复。每次重复都从旧值的基础上递推出新值，并由新值代替旧值。

例如，猴子吃桃问题。猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天早上想再吃时，就只剩一个桃子了。编程求第一天共摘多少桃子。

main()

{int day,peach;

 peach=1;

 for(day=9;day>=1;day--)  peach=(peach+1)*2;

 printf("The first day:%d\n",peach);}

又如，用迭代法求x=的根。

求平方根的迭代公式是：xn+1=0.5×(xn+a/ xn )

[算法]

（1）设定一个初值x0。

（2）用上述公式求出下一个值x1。

（3）再将x1代入上述公式，求出下一个值x2。

（4）如此继续下去，直到前后两次求出的x值（xn+1和xn）满足以下关系：

| xn+1- xn|<10-5

#include "math.h"

main()

{float a,x0,x1;

 scanf("%f",&a);

 x0=a/2;  x1=(x0+a/x0)/2;

 do{x0=x1;

    x1=(x0+a/x0)/2;

   }while(fabs(x0-x1)>=1e-5);

 printf("%f\n",x1);

}

2．进制转换

（1）十进制数转换为其他进制数

一个十进制正整数m转换成r进制数的思路是，将m不断除以r取余数，直到商为0时止，以反序输出余数序列即得到结果。

注意，转换得到的不是数值，而是数字字符串或数字串。

例如，任意读入一个十进制正整数，将其转换成二至十六任意进制的字符串。

void tran(int m,int r,char str[],int *n)

{char sb[]="0123456789ABCDEF";  int i=0,g;

 do{g=m%r;

    str[i]=sb[g];

    m=m/r;

    i++;

   }while(m!=0);

 *n=i;

}

main()

{int x,r0;    /*r0为进制基数*/

 int i,n;     /*n中存放生成序列的元素个数*/

 char a[50];

 scanf("%d%d",&x,&r0);

 if(x>0&&r0>=2&&r0<=16)

 {tran(x,r0,a,&n);

for(i=n-1;i>=0;i--) printf("%c",a[i]);

    printf("\n"); }

 else  exit(0);

}

（2）其他进制数转换为十进制数

其他进制整数转换为十进制整数的要领是：“按权展开”，例如，有二进制数101011，则其十进制形式为1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43。若r进制数an……a2a1（n位数）转换成十进制数，方法是an×r n-1+……a2×r1+a1×r0。

注意：其他进制数只能以字符串形式输入。

例1、任意读入一个二至十六进制数（字符串），转换成十进制数后输出。

#include "string.h"

#include "ctype.h"

main()

{char x[20];  int r,d;

 gets(x);         /*输入一个r进制整数序列*/

 scanf("%d",&r);  /*输入待处理的进制基数2-16*/

 d=Tran(x,r);

 printf("%s=%d\n",x,d);

}

int Tran(char *p,int r)

{int d,i,cr;  char fh,c;

 d=0;  fh=*p;

 if(fh=='-')p++;

 for(i=0;i<strlen(p);i++)

  {c=*(p+i);

   if(toupper(c)>='A')  cr=toupper(c)-'A'+10;

   else  cr=c-'0';

   d=d*r+cr;

   }

  if(fh=='-') d=-d;

  return(d);

} 

3．矩阵转置

矩阵转置的算法要领是：将一个m行n列矩阵（即m×n矩阵）的每一行转置成另一个n×m矩阵的相应列。

例1、将以下2×3矩阵转置后输出。

即将      1   2   3        转置成    1   4

          4   5   6                  2   5

                                     3   6

main()

{int a[2][3],b[3][2],i,j,k=1;

 for(i=0;i<2;i++)

   for(j=0;j<3;j++)

     a[i][j]=k++;

 /*以下将a的每一行转存到b的每一列*/

 for(i=0;i<2;i++)

   for(j=0;j<3;j++)

     b[j][i]=a[i][j];

 for(i=0;i<3;i++)     /*输出矩阵b*/

   {for(j=0;j<2;j++)

      printf("%3d",b[i][j]);

    printf("\n"); }

}

 

4．字符处理

（1）字符统计：对字符串中各种字符出现的次数的统计。

典型例题：任意读入一个只含小写字母的字符串，统计其中每个字母的个数。

#include  "stdio.h "

main()

{char a[100]; int n[26]={0}; int i; /*定义26个计数器并置初值0*/

   gets(a);

 for(i=0;a[i]!= '\0' ;i++)  /*n[0]中存放’a’的个数，n[1] 中存放’b’的个数……*/

     n[a[i]-'a' ]++;  /*各字符的ASCII码值减去’a’的ASCII码值，正好得到对应计数器下标*/

   for(i=0;i<26;i++)

    if(n[i]!=0) printf("%c :%d\n ", i+'a', n[i]);

}

（2）字符加密

例如、对任意一个只含有英文字母的字符串，将每一个字母用其后的第三个字母替代后输出（字母X后的第三个字母为A，字母Y后的第三个字母为B，字母Z后的第三个字母为C。）

    #include "stdio.h"

#include "string.h"

main()

{char a[80]= "China"; int i;

     for(i=0; i<strlen(a); i++)

      if(a[i]>='x'&&a[i]<='z'||a[i]>='X'&&a[i]<='Z')  a[i]= a[i]-26+3;

      else  a[i]= a[i]+3;

puts(a);} 

5．整数各数位上数字的获取

算法核心是利用“任何正整数整除10的余数即得该数个位上的数字”的特点，用循环从低位到高位依次取出整数的每一数位上的数字。

例1、任意读入一个5位整数，输出其符号位及从高位到低位上的数字。

main()

{long x;    int w,q,b,s,g;

 scanf("%ld",&x);

 if(x<0) {printf("-,"); x=-x;}

 w=x/10000;      /*求万位上的数字*/

 q=x/1000%10;    /*求千位上的数字*/

 b=x/100%10;     /*求百位上的数字*/

 s=x/10%10;      /*求十位上的数字*/

 g=x%10;         /*求个位上的数字*/

 printf("%d,%d,%d,%d,%d\n",w,q,b,s,g); }

例2、任意读入一个整数，依次输出其符号位及从低位到高位上的数字。

[分析]此题读入的整数不知道是几位数，但可以用以下示例的方法完成此题：

例如读入的整数为3796，存放在x中，执行x%10后得余数为6并输出；将x/10得379后赋值给x。再执行x%10后得余数为9并输出；将x/10得37后赋值给x……直到商x为0时终止。

main()

{long x;   scanf("%ld",&x);

 if(x<0) {printf("-  "); x=-x;}

 do               /*为了能正确处理0，要用do_while循环*/

  {printf("%d  ", x%10);

   x=x/10;

  }while(x!=0);

 printf("\n");

}

例3、任意读入一个整数，依次输出其符号位及从高位到低位上的数字。

[分析]此题必须借助数组将依次求得的低位到高位的数字保存后，再逆序输出。

main()

{long x; int a[20],i,j;

 scanf("%ld",&x);

 if(x<0) {printf("-  "); x=-x;}

 i=0;

 do {a[i]=x%10;

     x=x/10;  i++;

   }while(x!=0);

 for(j=i-1;j>=0;j--)

   printf("%d  ",a[j]);

 printf("\n");

}

6．辗转相除法求两个正整数的最大公约数

该算法的要领是：假设两个正整数为a和b，先求出前者除以后者的余数，存放到变量r中，若r不为0，则将b的值得赋给a，将r的值得赋给b；再求出a除以b的余数，仍然存放到变量r中……如此反复，直至r为0时终止，此时b中存放的即为原来两数的最大公约数。

例1、任意读入两个正整数，求出它们的最大公约数。

[法一：用while循环时，最大公约数存放于b中]

main()

{int a,b,r;

 do  scanf("%d%d",&a,&b);

 while(a<=0||b<=0);  /*确保a和b为正整数*/

 r=a%b;

 while(r!=0)

  {a=b;b=r;r=a%b;}

 printf("%d\n",b);

}

[法二：用do…while循环时，最大公约数存放于a中]

main()

{int a,b,r;

 do  scanf("%d%d",&a,&b);

 while(a<=0||b<=0);  /*确保a和b为正整数*/

 do {r=a%b;a=b;b=r;

   }while(r!=0);

 printf("%d\n",a);

}

【引申】可以利用最大公约数求最小公倍数。提示：两个正整数a和b的最小公倍数=a×b/最大公约数。

例2、任意读入两个正整数，求出它们的最小公倍数。

[法一：利用最大公约数求最小公倍数]

main()

{int a,b,r,x,y;

 do  scanf("%d%d",&a,&b);

 while(a<=0||b<=0);  /*确保a和b为正整数*/

 x=a; y=b;           /*保留a、b原来的值*/

 r=a%b;

 while(r!=0) {a=b;b=r;r=a%b;}

 printf("%d\n",x*y/b);

}

 [法二：若其中一数的最小倍数也是另一数的倍数，该最小倍数即为所求]

main()

{int a,b,r,i;

 do  scanf("%d%d",&a,&b);

 while(a<=0||b<=0);  /*确保a和b为正整数*/

 i=1; 

 while(a*i%b!=0) i++;

 printf("%d\n",i*a);

}

7．求最值

    即求若干数据中的最大值（或最小值）。算法要领是：首先将若干数据存放于数组中，通常假设第一个元素即为最大值（或最小值），赋值给最终存放最大值（或最小值）的max（或min）变量中，然后将该量max（或min）的值与数组其余每一个元素进行比较，一旦比该量还大（或小），则将此元素的值赋给max（或min）……所有数如此比较完毕，即可求得最大值（或最小值）。

例1、任意读入10个数，输出其中的最大值与最小值。

#define N 10

main()

{int a[N],i,max,min;

 for(i=0;i<N;i++) scanf("%d",&a[i]);

 max=min=a[0];

 for(i=1;i<N;i++)

  if(a[i]>max)  max=a[i];

  else  if(a[i]<min) min=a[i];

 printf("max=%d,min=%d\n",max,min);

}

8．判断素数

素数又称质数，即“只能被1和自身整除的大于1的自然数”。判断素数的算法要领就是依据数学定义，即若该大于1的正整数不能被2至自身减1整除，就是素数。

例1、任意读入一个正整数，判断其是否为素数。

main()

{int x,k;

 do  scanf("%d",&x);

 while(x<=1);   /*确保读入大于1的正整数*/

 for(k=2;k<=x-1;k++)

   if(x%k==0)break;   /*一旦能被2~自身-1整除，就不可能是素数*/

 if(k==x)  printf("%d is sushu\n",x);

 else  printf("%d is not sushu\n",x);}

以上例题可以用以下两种变形来解决（需要使用辅助判断的逻辑变量）：

【变形一】将“2~自身-1”的范围缩小至“2~自身的一半”

main()

{int x,k,flag;

 do  scanf("%d",&x);  while(x<=1);

 flag=1;  /*先假设x就是素数*/

 for(k=2;k<=x/2;k++)

   if(x%k==0){flag=0; break;}/*一旦不可能是素数，即置flag为0*/

 if(flag==1)  printf("%d is sushu\n",x);

 else  printf("%d is not sushu\n",x); }

【变形二】将“2~自身-1”的范围缩小至“2~自身的平方根”

#include "math.h"

main()

{int x,k,flag;

 do   scanf("%d",&x);   while(x<=1);

 flag=1;  /*先假设x就是素数*/

 for(k=2;k<=(int)sqrt(x);k++)

   if(x%k==0){flag=0; break;}/*一旦不可能是素数，即置flag为0*/

 if(flag==1)  printf("%d is sushu\n",x);

 else  printf("%d is not sushu\n",x); }

例2、用筛选法求得100以内的所有素数。

算法为：（1）定义一维数组a，其初值为：2，3，……，100；

       （2）若a[k]不为0，则将该元素以后的所有a[k]的倍数的数组元素置为0；

（3）a中不为0的元素，均为素数。                                        

     #include <math.h>

     #include <stdio.h>

      main( )

       {int k,j,a[101];

    clrscr();   /*清屏函数*/

    for(k=2;k<101;k++)a[k]=k;

    for(k=2;k<sqrt(101);k++)

          for(j=k+1;j<101;j++)

        if(a[k]!=0&&a[j]!=0)

         if(a[j]%a[k]==0)a[j]=0;

    for(k=2;k<101;k++) if(a[k]!=0)printf("%5d",a[k]);

}

9．数组元素的插入、删除

（1）数组元素的插入

此算法一般是在已经有序的数组中再插入一个数据，使数组中的数列依然有序。算法要领是：

假设待插数据为x，数组a中数据为升序序列。

①先将x与a数组当前最后一个元素进行比较，若比最后一个元素还大，就将x放入其后一个元素中；否则进行以下步骤；

②先查找到待插位置。从数组a的第1个元素开始找到不比x小的第一个元素，设其下标为i ；

③将数组a中原最后一个元素至第i个元素依次一一后移一位，让出待插数据的位置，即下标为i的位置；

④将x存放到a(i)中。

例题参见前面“‘排序’中插入法排序的例1”。

（2）数组元素的删除

此算法的要领是：首先要找到（也可能找不到）待删除元素在数组中的位置（即下标），然后将待删元素后的每一个元素向前移动一位，最后将数组元素的个数减1。

例1、数组a中有若干不同考试分数，任意读入一个分数，若与数组a中某一元素值相等，就将该元素删除。

 

#define N 6

main()

{int fs[N]={69,90,85,56,44,80},x;   int i,j,n;

 n=N;

 scanf("%d",&x); /*任意读入一个分数值*/

 /*以下查找待删分数的位置，即元素下标*/

 for(i=0;i<n;i++)

   if(fs[i]==x)break;

 if(i==n) printf("Not found!\n");

 else       /*将待删位置之后的所有元素一一前移*/

   {for(j=i+1;j<n;j++) fs[j-1]=fs[j];

    n=n-1;   /*元素个数减1*/

   }

 for(i=0;i<n;i++)printf("%d  ",fs[i]);

}

10．二维数组的其他典型问题

（1）方阵的特点

行列相等的矩阵又称方阵。其两条对角线中“\”方向的为主对角线，“/”方向的为副对角线。主对角线上各元素的下标特点为：行列值相等；副对角线上各元素的下标特点为：行列值之和都为阶数加1。

主对角线及其以下部分（行值大于列值）称为下三角。

例1、输出如下5阶方阵。

     1   2   2   2   2

     3   1   2   2   2

     3   3   1   2   2

     3   3   3   1   2

     3   3   3   3   1

#define N 5

main()

{int a[N][N],i,j;

 for(i=0;i<N;i++)

   for(j=0;j<N;j++)

     if(i==j) a[i][j]=1;

     else if(i<j) a[i][j]=2;

     else a[i][j]=3;

 for(i=0;i<N;i++)

  {for(j=0;j<N;j++)

    printf("%3d",a[i][j]);

   printf("\n");

  }

}

例2、输出如下5阶方阵。

     1   2   3   4   5

     2   3   4   5   6

     3   4   5   6   7

     4   5   6   7   8

     5   6   7   8   9

#define N 5

main()

{int a[N][N],i,j;

 for(i=0;i<N;i++)

   for(j=0;j<N;j++)

     a[i][j]=i+j+1;    /*沿副对角线平行线方向考察每个元素，其值等于行列值之和+1*/

 for(i=0;i<N;i++)

  {for(j=0;j<N;j++)

    printf("%3d",a[i][j]);

   printf("\n");}

}

（2）杨辉三角形

杨辉三角形的每一行是(x+y)n的展开式各项的系数。例如第一行是(x+y)0，其系数为1；第二行是(x+y)1，其系数为1，1；第三行是(x+y)2，其展开式为x2+2xy+y2，系数分别为1，2，1；……直观形式如下：

1

1   1

1   2   1

1   3   3   1

1   4   6   4   1

1   5   10  10  5   1

 ……

分析以上形式，可以发现其规律：是n阶方阵的下三角，第一列和主对角线均为1，其余各元素是它的上一行、同一列元素与上一行、前一列元素之和。

例1、编程输出杨辉三角形的前10行。

#define N 10

main()

{int a[N][N],i,j;

 for(i=0;i<N;i++) a[i][0]=a[i][i]=1;

 for(i=2;i<N;i++)

   for(j=1;j<=i-1;j++)

     a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];

 for(i=0;i<N;i++)

  {for(j=0;j<=i;j++)

    printf("%4d",a[i][j]);

   printf("\n");

  }

}

例2、以等腰三角形的形状输出杨辉三角形的前5行。

                                    1

1 1

                              1     2     1

                           1    3      3     1

                       1     4     6      4      1

#define N 5

main()

{int a[N][N],i,j;

 for(i=0;i<N;i++)

  a[i][0]=a[i][i]=1;

 for(i=0;i<N;i++)

  for(j=1;j<i;j++)

  a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];

 for(i=0;i<N;i++)

  {for(j=N-i;j>=0;j--)printf("  ");   /*输出时每行前导空格递减*/

   for(j=0;j<=i;j++)

    printf("%4d",a[i][j]);

   printf("\n");

  }

}