HDU 1423 Greatest Common Increasing Subsequence
题目链接~~>
最长公共单调递增子序列（LCIS）：
方法一（O( n^2 )）：
最长公共上升子序列（LCIS）的O(n^2)算法
预备知识：动态规划的基本思想，LCS，LIS。
问题：字符串a，字符串b，求a和b的LCIS（最长公共上升子序列）。
首先我们可以看到，这个问题具有相当多的重叠子问题。于是我们想到用DP搞。DP的首要任务是什么？定义状态。 1定义状态F[i][j]表示以a串的前i个字符b串的前j个字符且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度。
为什么是这个而不是其他的状态定义？最重要的原因是我只会这个，还有一个原因是我知道这个定义能搞到平方的算法。而我这只会这个的原因是，这个状态定义实在是太好用了。这一点我后面再说。
我们来考察一下这个状态。思考这个状态能转移到哪些状态似乎有些棘手，如果把思路逆转一下，考察这个状态的最优值依赖于哪些状态，就容易许多了。这个状态依赖于哪些状态呢？
首先，在a[i]!=b[j]的时候有F[i][j]=F[i-1][j]。为什么呢？因为F[i][j]是以b[j]为结尾的LCIS，如果F[i][j]>0那么就说明a[1]..a[i]中必然有一个字符a[k]等于b[j]（如果F[i][j]等于0呢？那赋值与否都没有什么影响了）。因为a[k]!=a[i]，那么a[i]对F[i][j]没有贡献，于是我们不考虑它照样能得出F[i][j]的最优值。所以在a[i]!=b[j]的情况下必然有F[i][j]=F[i-1][j]。这一点参考LCS的处理方法。
那如果a[i]==b[j]呢？首先，这个等于起码保证了长度为1的LCIS。然后我们还需要去找一个最长的且能让b[j]接在其末尾的LCIS。之前最长的LCIS在哪呢？首先我们要去找的F数组的第一维必然是i-1。因为i已经拿去和b[j]配对去了，不能用了。并且也不能是i-2，因为i-1必然比i-2更优。第二维呢？那就需要枚举b[1]..b[j-1]了，因为你不知道这里面哪个最长且哪个小于b[j]。这里还有一个问题，可不可能不配对呢？也就是在a[i]==b[j]的情况下，需不需要考虑F[i][j]=F[i-1][j]的决策呢？答案是不需要。因为如果b[j]不和a[i]配对，那就是和之前的a[1]..a[j-1]配对（假设F[i-1][j]>0，等于0不考虑），这样必然没有和a[i]配对优越。（为什么必然呢？因为b[j]和a[i]配对之后的转移是max(F[i-1][k])+1，而和之前的i`配对则是max(F[i`-1][k])+1。显然有F[i][j]>F[i`][j],i`>i） 于是我们得出了状态转移方程： a[i]!=b[j]: F[i][j]=F[i-1][j] ，a[i]==b[j]: F[i][j]=max(F[i-1][k])+1 1<=k<=j-1&&b[j]>b[k] 不难看到，这是一个时间复杂度为O(n^3)的DP，离平方还有一段距离。 但是，这个算法最关键的是，如果按照一个合理的递推顺序，max(F[i-1][k])的值我们可以在之前访问F[i][k]的时候通过维护更新一个max变量得到。怎么得到呢？首先递推的顺序必须是状态的第一维在外层循环，第二维在内层循环。也就是算好了F[1][len(b)]再去算F[2][1]。 如果按照这个递推顺序我们可以在每次外层循环的开始加上令一个max变量为0，然后开始内层循环。当a[i]>b[j]的时候令max=F[i-1][j]。如果循环到了a[i]==b[j]的时候，则令F[i][j]=max+1。
最后答案是F[len(a)][1]..F[len(a)][len(b)]的最大值。
代码：
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 505;
int num1[N],num2[N],f[N][N];
int main()
{
int t,n,m;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&num1[i]);
scanf("%d",&m);
for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&num2[j]);
memset(f,0,sizeof(f));
int answer=0 ;
int ma ;
for(int i=1;i<=n ;i++)
{
ma=0;
for(int j=1;j<=m ;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j];
if(num1[i]>num2[j]&&f[i-1][j]>ma)ma=f[i-1][j];
if(num1[i]==num2[j])f[i][j]=ma+1;
}
}
for(int j=0;j<=m;j++)
answer=max(answer,f[n][j]);
printf("%d\n",answer);
if(t!=0)printf("\n");
}
return 0;
}
方法二（O（nm））：
其实还有一个很好的一维的算法。在此基础上压掉了一维空间（时间还是平方）。i循环到x的时候，F[i]表示原来F[x][j]。之所以可以这样，是因为如果a[i]!=b[j]，因为F[x][j]=F[x-1][j]值不变，F[x]不用改变，沿用过去的就好了，和这个比较维护更新得到的max值依然是我们要的。而a[i]==b[j]的时候，就改变F[x]的值好了。
设题目给出a[],b[]两个序列。f[j]表示b序列到j的时候，与a[？？]序列构成最长公共上升子序列的最优解。其中a[？？]序列，从1到n枚举过来。如果某一个时刻a[i]==b[j]，那么显然，我们就应该在0到j-1中，找一个f值最大的来更新最优解。这和求上升子序列是思想是一样的。另外，在枚举b[j]的时候，我们顺便保存一下小于a[i]的f值最大的b[j]，这样在更新的时候，我们就可以做到O(1)的复杂度，从而将整个算法的复杂度保证在O(nm)
代码：
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<map>
#include<string>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std ;
const int INF = 99999999 ;
const int MX = 505 ;
int n,m ;
int f[MX],a[MX],b[MX] ;
int max(int x,int y)
{
return x > y ? x : y ;
}
int LCIS()
{
memset(f,0,sizeof(f)) ;
for(int i=0 ;i<n ;i++)
{
int k=501 ; // 必须定义成边界值，不能定义成0，
for(int j=0 ;j<m ;j++)
{ // k定义成0 时 5 5 4 3 2 1 5 5 4 3 2 1 这组过不了
if(a[i]==b[j]&&f[j]<f[k]+1)
f[j]=f[k]+1 ;
if(a[i]>b[j]&&f[k]<f[j])
k=j ;
}
}
int ans=0 ;
for(int i=0 ;i<m ;i++)
ans=max(ans,f[i]) ;
return ans ;
}
int main()
{
int T ;
scanf("%d",&T) ;
while(T--)
{
scanf("%d",&n) ;
for(int i=0 ;i<n ;i++)
scanf("%d",&a[i]) ;
scanf("%d",&m) ;
for(int j=0 ;j<m ;j++)
scanf("%d",&b[j]) ;
printf("%d\n",LCIS()) ;
if(T) printf("\n") ;
}
return 0 ;
}
打印路径（POJ 2127）：
代码：
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<map>
#include<string>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std ;
const int INF = 99999999 ;
const int MX = 505 ;
int n,m ;
int f[MX][MX] ;
int p[MX][MX],path[MX] ;
int a[MX],b[MX] ;
int max(int x,int y)
{
return x > y ? x : y ;
}
void LCIS()
{
int ans=0,k,temp,p1,p2 ;
memset(f,0,sizeof(f)) ;
memset(p,0,sizeof(p)) ;
memset(path,0,sizeof(path)) ;
for(int i=1 ;i<=n ;i++)
{
k=0 ; temp=0 ;
for(int j=1 ;j<=m ;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j] ;
if(a[i]>b[j]&&f[i-1][j]>k)
{
k=f[i-1][j] ;
temp=j ;
}
if(a[i]==b[j])
{
p[i][j]=temp ;
f[i][j]=k+1 ;
}
if(f[i][j]>ans)
{
ans=f[i][j] ;
p1=i ;
p2=j ;
}
}
}
printf("%d\n",ans) ;
int len=ans ;
if(ans>0)
path[ans--]=p2 ;
while(ans&&p1&&p2)
{
if(p[p1][p2]>0)
{
path[ans--]=p[p1][p2] ;
p2=p[p1][p2] ;
}
p1-- ;
}
for(int i=1 ;i<len ;i++)
printf("%d ",b[path[i]]) ;
printf("%d\n",b[path[len]]) ;
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
for(int i=1 ;i<=n ;i++)// 必须以一开始！！
scanf("%d",&a[i]) ;
scanf("%d",&m) ;
for(int j=1 ;j<=m ;j++)
scanf("%d",&b[j]) ;
LCIS() ;
}
return 0 ;
}