【问题】给了一个文本串和模式串,要求模式串在文本串中第一次出现的位置?
【前期准备】原来看kmp的时候总是看不懂,归根结底是没有理解Next数组的含义,今天再次学习kmp竟然对next秒懂了,现将算法学习记录如下!!
【算法描述】
一 kmp算法为什么比传统的字符串匹配算法快
假设文本T = y1y2y3....yn, 模式 P = p1p2p3...pm, 传统的匹配算法把位移为0,1,...n-m时的文本依次跟P比较,每次比较最多花费O(m)的时间,算法的复杂度为O((n-m+1)*m)。这种算法没有利用匹配过的信息,每次都从头开始比较,速度很慢。而kmp算法充分利用了之前的匹配信息,从而避免一些明显不合法的位移。加快匹配过程。来看一个例子:
#########000xxxx000###### 文本T
|<---- s ---->|000xxxx000~~~ 模式P
假设位移为s时,T和P匹配了红色部分的字符,即匹配到了模式P的前10个字符,如果按照传统的匹配方法,下一步就是从位移s+1开始比较,而kmp算法则直接从位移s+7开始比较,而且断定:位移s+7对应的串和模式P的前3个字符是相同的,可
以不用比较,直接从第4个字符开始比较,这种跳跃式的匹配是不是比传统匹配方法快很多,如下图所示:
#########000xxxx000###### 文本T
|<-------- s+7-------->| 000xxxx000~~~ 模式P
那么kmp是如何实现这种跳跃的呢?注意到红色部分的字符,即模式P的前10个字符,有一个特点:它的开始3个字符和末尾
3个字符是一样的,又已知文本T也存在红色部分的字符,我们把位移移动 10-3 = 7个位置,让模式P的开始3个字符对准文本
T红色部分的末尾3个字符,那么它们的前3个字符必然可以匹配。
二 构造前缀数组
上面的例子是文本T和模式P匹配了前面10个字符的情况下发生的,而且我们观察到模式P的前缀P10中,它的开始3个字符和末尾3个字符是一样的。如果对于模式P的所有前缀P1,P2...Pm,都能求出它们首尾有多少个字符是一样的,当然相同的字
符数越多越好,那么就可以按照上面的方法,进行跳跃式的匹配。
定义:
Pi表示模式P的前i个字符组成的前缀, next[i] = j表示Pi中的开始j个字符和末尾j个字符是一样的,而且对于前缀Pi来说,这样
的j是最大值。next[i] = j的另外一个定义是:有一个含有j个字符的串,它既是Pi的真前缀,又是Pi的真后缀
规定:
next[1] = next[0] = 0
next[i]就是前缀数组,下面通过1个例子来看如何构造前缀数组。
例子1:cacca有5个前缀,求出其对应的next数组。
前缀2为ca,显然首尾没有相同的字符,next[2] = 0
前缀3为cac,显然首尾有共同的字符c,故next[3] = 1
前缀4为cacc,首尾有共同的字符c,故next[4] = 1
前缀5为cacca,首尾有共同的字符ca,故next[5] = 2
如果仔细观察,可以发现构造next[i]的时候,可以利用next[i-1]的结果。假设模式已求得next[10] = 3,如下图所示:
000#xxx000 前缀P10
000 末尾3个字符
根据前缀函数的定义:next[10] = 3意味着末尾3个字符和P10的前3个字符是一样的
为求next[11],可以直接比较第4个字符和第11个字符,如下图所示:蓝色和绿色的#号所示,如果它们相等,则
next[11] = next[10]+1 = 4,这是因为next[10] = 3保证了前缀P11和末尾4个字符的前3个字符是一样的.
000#xxx000# 前缀P11
000# 末尾4个字符
所以只需验证第4个字符和第11个字符。但如果这两个字符不想等呢?那就继续迭代,利用next[next[10] = next[3]的值来求
next[11]。
【构造next数组】void getNext() { int j, k; j = 0; k = -1; next[0] = -1;//第j次迭代开始之前,k代表next[i-1]的值 while(j < tlen) if(k == -1 || T[j] == T[k]) next[++j] = ++k; else k = next[k]; }
三 模拟KMP的查找过程
和朴素算法的主要区别为,回溯的时候不是回溯到模式串的首位置,而是回溯到模式串的当前的next。
/* 返回模式串T在主串S中首次出现的位置 返回的位置是从0开始的。 */
//其中tlen为模式串的位置,而slen表示文本串的长度。 int KMP_Index() { int i = 0, j = 0; getNext(); while(i < slen && j < tlen) { if(j == -1 || S[i] == T[j]) { i++; j++; } else j = next[j]; } if(j == tlen) return i - tlen; else return -1; }
【优化?】kmp还可以优化吗?当然还有优化,好像是针对next的优化,我还没学,待续!!
【Trick】生活让人越来越浮躁,你是否能静心让学习编程变成你的习惯?There is no reheasal in life,live is everyday!