meanshift算法推导



本文转自：http://www.cnblogs.com/liqizhou/archive/2012/05/12/2497220.html

Mean Shift算法,一般是指一个迭代的步骤,即先算出当前点的偏移均值,移动该点到其偏移均值,然后以此为新的起始点,继续移动,直到满足一定的条件结束.

 1. Meanshift推导

给定d维空间R^d的n个样本点 ,i=1,…,n,在空间中任选一点x，那么Mean Shift向量的基本形式定义为:                             

 S_k是一个半径为h的高维球区域,满足以下关系的y点的集合,

k表示在这n个样本点x_i中,有k个点落入S_k区域中.

以上是官方的说法，即书上的定义，我的理解就是，在d维空间中，任选一个点，然后以这个点为圆心，h为半径做一个高维球，因为有d维，d可能大于2，所以是高维球。落在这个球内的所有点和圆心都会产生一个向量，向量是以圆心为起点落在球内的点位终点。然后把这些向量都相加。相加的结果就是Meanshift向量。

如图所以。其中黄色箭头就是M_h（meanshift向量）。

再以meanshift向量的终点为圆心，再做一个高维的球。如下图所以，重复以上步骤，就可得到一个meanshift向量。如此重复下去，meanshift算法可以收敛到概率密度最大得地方。也就是最稠密的地方。

最终的结果如下：

Meanshift推导：

 把基本的meanshift向量加入核函数，核函数的性质在这篇博客介绍：http://www.cnblogs.com/liqizhou/archive/2012/05/11/2495788.html

那么，meanshift算法变形为

                                                         (1)

解释一下K()核函数，h为半径，C_k,d/nh^d  为单位密度，要使得上式f得到最大，最容易想到的就是对上式进行求导，的确meanshift就是对上式进行求导.

(2)             

令：

K(x)叫做g(x)的影子核，名字听上去听深奥的，也就是求导的负方向，那么上式可以表示

对于上式，如果才用高斯核，那么，第一项就等于f_h,k

第二项就相当于一个meanshift向量的式子：

 那么（2）就可以表示为

下图分析的构成，如图所以，可以很清晰的表达其构成。

要使得=0，当且仅当=0，可以得出新的圆心坐标：

                          （3） 

 

上面介绍了meanshift的流程，但是比较散，下面具体给出它的算法流程。

1. 选择空间中x为圆心，以h为半径为半径，做一个高维球，落在所有球内的所有点x_i
2. 计算，如果<ε(人工设定)，推出程序。如果>ε, 则利用（3）计算x，返回1.

 

2.meanshift在图像上的聚类：

真正大牛的人就能创造算法，例如像meanshift，em这个样的算法，这样的创新才能推动整个学科的发展。还有的人就是把算法运用的实际的运用中，推动整个工业进步，也就是技术的进步。下面介绍meashift算法怎样运用到图像上的聚类核跟踪。

一般一个图像就是个矩阵，像素点均匀的分布在图像上，就没有点的稠密性。所以怎样来定义点的概率密度，这才是最关键的。

如果我们就算点x的概率密度，采用的方法如下：以x为圆心，以h为半径。落在球内的点位x_i   定义二个模式规则。

（1）x像素点的颜色与x_i像素点颜色越相近，我们定义概率密度越高。

（2）离x的位置越近的像素点x_i，定义概率密度越高。

所以定义总的概率密度，是二个规则概率密度乘积的结果，可以（4）表示

（4）

其中：代表空间位置的信息，离远点越近，其值就越大，表示颜色信息，颜色越相似，其值越大。如图左上角图片，按照（4）计算的概率密度如图右上。利用meanshift对其聚类，可得到左下角的图。