题目链接：N-Queens

The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.

Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.

Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens' placement, where 'Q' and '.' both indicate a queen and an empty space respectively.

For example,

There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle:

[
 [".Q..",  // Solution 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // Solution 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]

这道题的要求是N皇后问题：放置n的皇后在n*n的棋盘上，使其任意两个皇后不能相互攻击。给定整数n，返回所有可能情况，其中‘Q’表示皇后，‘.’表示空位置。

两个皇后不能相互攻击，即要求这两个皇后不在同一行、同一列及同一斜线上。

N皇后问题，一道非常经典的问题，NP问题，主要思路就是采用递归不断处理子问题，和之前的Sudoku Solver问题类似。每次在棋盘上的当前行放置1个皇后，这需要在该行枚举所有情况，当不与前面行的皇后冲突时，就可以递归处理剩下位置。当当前行数超过最后一行的时候，保存结果，递归结束。

关键问题是如何检测在某行某列放置皇后的时候是否造成冲突。

  • 可以用一个n*n的数组作为标记，在放置一皇后的时候，将其对应行、列及斜线都置为不能放置皇后状态，这样在放下一皇后的时候，就可以直接判断该位置能否造成冲突。不过这样的空间复杂度比较高（O(n2)）。
  • 其实，由于每一行只允许放置1个皇后，因此可以采用1个长度为n的整形数组记录每行放置皇后的位置，这样空间复杂度就降低为O(n)了。这时，在检查当前位置的皇后是否于之前的皇后冲突时，就需要遍历之前的皇后，以检测是否冲突。由于按行递归，因此已经限制了皇后都不在同一行，因此只需检测列值是否相同，以及行列差的绝对值是否相同（判断是否在同一斜线）。

时间复杂度：O(???)

空间复杂度：O(n)

 1 class Solution
 2 {
 3     vector<vector<string> > vvs;
 4     
 5 public:
 6     vector<vector<string> > solveNQueens(int n)
 7     {
 8         vector<int> vi(n);
 9         solveNQueens(vi, n, 0);
10         return vvs;
11     }
12     
13 private:
14     void solveNQueens(vector<int> &vi, int n, int c)
15     {
16         if(c == n)
17         {
18             vector<string> vs(n, string(n, '.'));
19             for(int i = 0; i < n; ++ i)
20                 vs[i][vi[i]] = 'Q';
21             vvs.push_back(vs);
22             return;
23         }
24 
25         for(vi[c] = 0; vi[c] < n; ++ vi[c])
26             if(safe(vi, n, c))
27                 solveNQueens(vi, n, c + 1);
28     }
29 
30     bool safe(vector<int> &vi, int n, int c)
31     {
32         for(int i = 0; i < c; ++ i)
33             if(vi[i] == vi[c] || abs(vi[c] - vi[i]) == abs(c - i))
34                 return false;
35         return true;
36     }
37 };