hdu 2865 Birthday Toy (polya，好题)

题意：

有一个环由n个组合和一个中心珠子组成，现在有k中颜色，问相邻的不能同色的染色方案数。

题解：

这题的n很大所以只能枚举约数gcd(n,i)=r，但是k也超级大，完全无法用关系矩阵解决。那么要考虑是否有规律。对于中心有珠子的这种染色法，明显可以枚举中心珠子的颜色，然后计算k-个颜色嫩染多少种的情况，最后乘以k即可。我们可以枚举外围的第一个珠子颜色，然后用dp解决这种排列问题。现在假设枚举第一个珠子颜色是黑色，那么开始的状态dp[1][0]=0,dp[1][1]=1，接下来这个两个方程很快就能出来：dp[i][1]=dp[i][1],dp[i][0]=dp[i][0]*(k-3)+dp[i][1]*(k-2);最终要得到dp[r][0].发现这个r非常的大，无法直接递推，考虑用举证优化这个dp，于是就用矩阵乘法搞定，ORZ！

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<string>
#define B(x) (1<<(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
void cmax(int &a,int b){ if(b>a)a=b; }
void cmin(int &a,int b){ if(b<a)a=b; }
void cmax(ll &a,ll b){ if(b>a)a=b; }
void cmin(ll &a,ll b){ if(b<a)a=b; }
void add(int &a,int b,int mod){ a=(a+b)%mod; }
void add(ll &a,ll b,ll mod){ a=(a+b)%mod; }
void add(int &a,int b){ a+=b; }
void add(ll &a,ll b){ a+=b; }
const int oo=0x3f3f3f3f;
const ll MOD=1000000007;
const int maxn = 15;
int fac[1000000],cnt;
int prime[100000],p;

struct MAZE{
    ll maze[4][4];
    int n;
	MAZE(){ n=0;}
	MAZE(int n_){ memset(maze,0,sizeof maze); n=n_; }
	MAZE operator*(const MAZE &a)const{
		MAZE b(n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                for(int k=1;k<=n;k++)
                    b.maze[i][j]=(b.maze[i][j]+maze[i][k]*a.maze[k][j]%MOD+MOD)%MOD;
		return b;
	}
};

MAZE maze_pow(MAZE a,int k){
    MAZE b(a.n);
    for(int i=1;i<=b.n;i++)b.maze[i][i]=1;
    while(k){
        if(k&1) b=a*b;
        a=a*a;
        k>>=1;
    }
    return b;
}


void get_fac(int n){
    cnt=0;
    for(int i=1;(ll)i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            fac[cnt++]=i;
            if(n/i!=i)
                fac[cnt++]=n/i;
        }
    }
    //sort(fac,fac+cnt);
}

ll dfs(int s,int x){
    ll res=0;
    for(int i=s;i<p;i++){
        res+=x/prime[i]-dfs(i+1,x/prime[i]);
    }
    return res;
}

ll Count(int n){
    p=0;
    int m=n;
    for(int i=2;(ll)i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            prime[p++]=i;
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1&&prime[p-1]!=n)prime[p++]=n;
    return ((ll)m-dfs(0,m))%MOD;
}

ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return d;
}

ll solve(int c,int r){
    MAZE a(2);
    a.maze[1][1]=c-3;a.maze[1][2]=c-2;
    a.maze[2][1]=1;a.maze[2][2]=0;
    a=maze_pow(a,r-1);
    ll ans=a.maze[1][2]*(c-1)%MOD;
    return ans;
}

int main(){

	int n,c;
	while(scanf("%d %d",&n,&c)!=EOF){
		get_fac(n);
		ll ans=0;
		for(int i=0;i<cnt;i++){
            ans=(ans+Count(n/fac[i])*solve(c,fac[i])%MOD)%MOD;
		}
		ans=(ans%MOD+MOD)%MOD;
		ans=(ans*c)%MOD;
		ll x=0,y=0;
		ex_gcd(n,MOD,x,y);
		x=(x%MOD+MOD)%MOD;
		ans=(ans*x)%MOD;
		cout<<ans<<endl;
	}
    return 0;
}