【算法学习】最小路径覆盖

引入题目

有一道这种题：给一个有向无环图，一个士兵可以沿着某条路径走到底，现求最小需要多少个士兵可以把所有的点都走过。

解法

刚碰这题的时候有几个想法

想法一

计算入度为0的点有多少个，就需要多少个士兵。
然后又自己提出反例。
如图：

这个例子中需要两个士兵
显然单纯算入度和出度是不行的。放弃

想法二

直接在原图基础上跑最大流，然后考虑到流量不好控制，遂放弃

想法三

首先考虑哪些点是起点，假定S是一个起点的集合，那么这个集合满足什么条件？

一个起点代表一条路径，由这些起点选择的路径可以覆盖全图

也就是说集合S中的点都是“独立”的，也就是说这些点的“入度”都为0.（其实就是这些点不会被其他点经过
那么能不能“拆”点，将一个点拆为出度和入度？
将图中的点u拆为u’和u”
假设原图中存在边e(u,v)∈E，那么建边u’->v”
若选择该条边，那么意味着v”不是起点集合（因为起点集合不被经过
然而题目就转换为了—求起点集合的最少点数，也就是说v”不被覆盖的最少点数，也即：

最小点覆盖=|V|-最大匹配

但是需要注意到的是：需要在图G(V,E)基础上建立新图G’(V’,E’)，在图G(V,E)中，若u可以通过某条路径到达v，那么e(u,v)∈E’

如题：
POJ 2594 Treasure Exploration

//author: CHC
//First Edit Time: 2015-05-10 12:56
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <set>
#include <vector>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <limits>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN=1e+4;
const int MAXM=1e+6;
const int INF = numeric_limits<int>::max();
const LL LL_INF= numeric_limits<LL>::max();
int dp[510][510],n,m;
struct Edge
{
    int from,to,ci,next;
    Edge(){}
    Edge(int _from,int _to,int _ci,int _next):from(_from),to(_to),ci(_ci),next(_next){}
}e[MAXM];
int head[MAXN],tot;
int dis[MAXN];
int top,sta[MAXN],cur[MAXN];
inline void init(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    tot=0;
}
inline void AddEdge(int u,int v,int ci0,int ci1=0){
    e[tot]=Edge(u,v,ci0,head[u]);
    head[u]=tot++;
    e[tot]=Edge(v,u,ci1,head[v]);
    head[v]=tot++;
}
inline bool bfs(int st,int et){
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    dis[st]=1;
    queue <int> q;
    q.push(st);
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[now];i!=-1;i=e[i].next){
            int next=e[i].to;
            if(e[i].ci&&!dis[next]){
                dis[next]=dis[now]+1;
                if(next==et)return true;
                q.push(next);
            }
        }
    }
    return false;
}
LL Dinic(int st,int et){
    LL ans=0;
    while(bfs(st,et)){
        //printf("here\n");
        top=0;
        memcpy(cur,head,sizeof(head));
        int u=st,i;
        while(1){
            if(u==et){
                int pos,minn=INF;
                //printf("top:%d\n",top);
                for(i=0;i<top;i++)
                {
                    if(minn>e[sta[i]].ci){
                        minn=e[sta[i]].ci;
                        pos=i;
                    }
                    //printf("%d --> %d\n",e[sta[i]].from,e[sta[i]].to);
                }
                for(i=0;i<top;i++){
                    e[sta[i]].ci-=minn;
                    e[sta[i]^1].ci+=minn;
                }
                top=pos;
                u=e[sta[top]].from;
                ans+=minn;
                //printf("minn:%d\n\n",minn);
            }
            for(i=cur[u];i!=-1;cur[u]=i=e[i].next)
                if(e[i].ci&&dis[u]+1==dis[e[i].to])break;
            if(cur[u]!=-1){
                sta[top++]=cur[u];
                u=e[cur[u]].to;
            }
            else {
                if(top==0)break;
                dis[u]=0;
                u=e[sta[--top]].from;
            }
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        if(n+m==0)break;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        init();
        for(int i=0,x,y;i<m;i++){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            dp[x][y]=1;
        }
        for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(dp[i][k])
                for(int j=1;j<=n;j++)
                    dp[i][j]|=dp[i][k]*dp[k][j];
        int st=0,et=n*3;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(i!=j&&dp[i][j]){
                    AddEdge(i<<1,j<<1|1,1);
                }
            }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            AddEdge(st,i<<1,1),AddEdge(i<<1|1,et,1);
        printf("%I64d\n",n-Dinic(st,et));
    }
    return 0;
}