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佩尔方程

佩尔方程

若一个丢番图方程具有以下的形式：

且为正整数，则称此二元二次不定方程为佩尔方程(英文：Pell's equation 德文：Pellsche Gleichung)

若是完全平方数，则这个方程式只有解（实际上对任意的，都是解）。对于其余情况，拉格朗日证明了佩尔方程总有解。而这些解可由的连分数求出。


佩尔方程的解

设 是的连分数表示:的渐近分数列，由连分数理论知存在 使得(pi,qi) 为佩尔方程的解。取其中最小的 ，将对应的 (pi,qi) 称为佩尔方程的基本解，或最小解，记作(x1,y1) ，则所有的解(xi,yi) 可表示成如下形式：

或者由以下递推公式得到：

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