判断顶点是否位于线段上

判断顶点是否位于线段上

分类： 算法 2013-07-21 16:47  68人阅读  评论(0)  收藏  举报

算法

假设线段的两个端点分别为：A、B，另外一点为 P。

问题：判断 P 点是否位于线段 AB 上。

方法1：通过线段确定的直线方程判断。
(1) 在二维空间中，三点坐标表示为：A(xa,ya), B(xb,yb), P(xp,yp)。
AB确定的直线方程（点斜式）为：

      k = (yb - ya) * 1 / (xb - xa) 
      y = k * (x - xa) + ya
P点若位于直线上，首先应该满足直线的方程：
      yp = k * (xp - xa) + ya。
若上式成立，说明A、B、P共线，接下来只需判断 P 位于 A 和 B 中间，即
     (xa < xb && xa <= xp <= xb) || (xa > xb && xa >= xp >= xb)
     (ya < yb && ya <= yp <= yb) || (ya > yb && ya >= yp >= yb)
同时成立。否则，P 不在线段AB上。

注意到直线方程中有除法运算，需做一步AB是否重合的判断，否则除数为零。上式稍作变形，便可去掉除法运算，即：
     (y - ya) / (yb - ya) = (x - xa) / (xb - xa)
进而
     (y - ya) * (xb - xa) - (yb - ya) * (x - xa) = 0。
上式成立的条件，(x,y)与A或B点重合，或者(x,y)、A、B三点共线。接下来再做 P 是否位于AB中间的判断即可。

上述变形后的等式，其实表示的是二维平面中向量的一种运算：叉积（cross product），
      A x B = xa*yb - ya*xb
由直线方程的启示，不难理解叉积为零，则可判定两向量共线或者一个向量为零。

变形后的直线方程和向量的叉积是二维空间向三维空间推广的基础。

(2) 在三维空间中，三点坐标分别为A(xa,ya,za), B(xb,yb,zb), P(xp,yp,zp)。
AB确定的直线方程相应变为：
     (y - ya) / (yb - ya) = (x - xa) / (xb - xa) = (z - za) / (zb - za)。
按(1)中所述，将P点代入直线方程成立后，只需再多做一步 z 轴坐标的判断：
     (za < zb && za <= zp <= zb) || (za > zb && za >= zp >= zb)。
所有条件同时成立，则 P 点位于线段 AB 上。

三维空间中的叉积判断就是接下来的方法2。

方法2:利用向量的叉积做判断[3]。
二维空间中的叉积定义已经介绍，三维空间的描述可以参考「4」，叉积可以作为判定两个向量是否共线的一个工具，三维空间中的叉积结果会得到一个新的向量。
先求得两个向量：v1 = B - A, v2 = P - A。然后 v1 和 v2 做叉积：v = v1 x v2，如果 v 是零向量，即 v 的x、y、z分量都为 0，则v1 和 v2 至少有一个为零或者两个向量共线。

      if v2 == 0，then P == A；

      else if v1 == 0 then  A == B  AND P doesn't lie in AB ; // v2 != 0

      else P,A,B are colinear;

      end

如果判定共线后，接下来判断 P 是否位于 AB 内的方式同方法1.

方法3:面积法。

如果A、B、P三点组成的三角形的面积为零，那么可以得出三点共线的结论。

三角形面积可以使用海伦公式直接得出，另外上述v1和v2叉积得到的向量的长度的一半，也是三点组成的三角形的面积(参考叉积的定义)。

不过这两种方式都涉及到开根号的运算，代价较高。

另外在判定了三点共线后，v1 和 v2 的夹角要么0度，要么180度，点积的符号可以用来确定P点的位置，如：v1 ・ v2  < 0。那么，v1 和 v2 夹角为180，反向，P点位于AB之外。

接下来再以 B 点为基准做两个向量v1’ = A - B, v2’ = P - B，若v1’ ・ v2’ > 0，即可断定 P 位于线段AB上。

如果不以 B 为基准做两个向量，可以通过长度来判断，由内积的定义可以知道：

     v1 ・ v2 = |v1| |v2| cos<v1, v2> = |v1| |v2| cos(0) = |v1| |v2|。

如果v1 ・ v2  > |v1|*|v1| = v1 ・ v1 => |v2| > |v1|，即PA的长度大于BA，又PA和BA同向，那么P点一定位于AB之外。

不过上述的点积判定符号的方法，包含了许多乘法的运算，进行坐标比较的方法反而更加直接简单。综上所述，方法2更值得推荐。

参考：
[1] http://stackoverflow.com/questions/328107/how-can-you-determine-a-point-is-between-two-other-points-on-a-line-segment
[2] http://stackoverflow.com/questions/7050186/find-if-point-lay-on-line-segment

[3] http://dev.gameres.com/Program/Abstract/Geometry.htm
[4] http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html

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上一篇：有关struct的构造函数

 

判断顶点是否位于三角形内

分类： 算法 2013-07-21 22:09  110人阅读  评论(0)  收藏  举报

算法 几何

这是一个三维空间中的平面问题(三角形确定一个平面)，假设三角形的三个顶点为A(xa, ya, za)、B(xb, yb, zb)、C(xc, yc, zc)，另外一个顶点为P(xp, yp, zp)。

问题：判断顶点 P 是否位于ABC组成的三角形上（内部和边界）。

方法1：效率较低的方法。

(1) 利用面积判断。如果顶点落在三角形上，那么顶点P分别和ABC三点连接后组成的三个小三角形的面积之和一定等于三角形ABC的面积，否则P位于三角形ABC之外。三角形面积的求法有海伦公式，叉积法等。

(2) 利用角度判断。连接顶点P和三角形的三个顶点ABC，每两条边的夹角之和如果等于 2*PI，则 P 位于三角形上，否则位于三角形外。两个向量之间的夹角可以利用向量的点积来求，不过要求反三角函数。

方法2：同侧检测：判定顶点是否位于三角形三条边的同侧。

如果顶点P位于三角形的内部，那么按顺时针或者逆时针将三角形的三条边形成的向量首尾相接(AB, BC, CA)，顶点P一定是位于三个向量的同侧。如果顶点相对于三向量的位置发生了改变，比如逆时针时由左侧变为了右侧，则顶点一定位于三角形的外部。

如何判定顶点P位于向量的哪侧呢？我们知道向量的叉积是一个新的向量，具有方向。所以，通过向量叉积即可确定一个顶点位于一个向量的哪一侧。

那么又如何确定顺时针还是逆时针呢？其实，不需考虑顺时针还是逆时针。只要顶点 P 与三角形除却判断的向量(比如AB)外余下的那个顶点(比如C)位于同一侧，就可以判定P的相对位置。

接下来就是如何确定两点位于一个向量的同侧？因为向量的点积可以确定两个向量夹角的大小，当两个向量的点积大于0时，夹角小于 PI/2，可认为同向，否则两向量反向。于是，确定两个顶点P、C是否位于线段AB同侧的方法为：

构造三个向量：v1 = B - A，v2 = P - A，v3 = C - A；

判断P、C相对于AB的方向，做叉积：vp = v1 x v2， vc = v3 x v1；

判断vp、vc是否同向，做点积：d = vp ・ vc；

如果 d >= 0，说明叉积向量同向，进而推出P、C位于AB的同侧。

最后，如果针对三角形的三条边，P都和另外的一个顶点同向的话，那么P一定位于三角形上。

所以整个算法的流程如下：

function SameSide(p1,p2, a,b)

    cp1 = CrossProduct(b-a, p1-a)

    cp2 = CrossProduct(b-a, p2-a)

    if DotProduct(cp1, cp2) >= 0 then return true

    else return false

function PointInTriangle(p, a,b,c)

    if SameSide(p,a, b,c) and SameSide(p,b, a,c) and SameSide(p,c, a,b) then 

            return true

    else 

            return false

算法没有开根号和反三角函数的求解，所以效率相对较高。

方法3：重心法(barycentric technique)

在三角形确定的平面上的任意一点P，都可以使用一个重心坐标的形式来表示P的坐标：

     P = uA + vB + wC，u + v + w = 1；

消去w：

     P - C = u(A - C) + v(B - C)

上式可以理解为，平面上的任意一个向量都能表示成两个不共线的向量的线性形式。如果P位于三角形上，那么u、v需要满足：

     0 <= u, v <= 1 && u + v <= 1

为简化书写，我们做以下标记：

     v2 = P - C, v0 = A - C, v1 = B - C

进而

     v2 = u*v0 + v*v1

接下来就是求得u、v。因为v0、v1和v2是已知向量，可以直接利用坐标来求解。但是三维空间中，可以得到三个(xyz)关于u、v的方程，而我们只需要两个方程即可，如何选择需要进一步的做些判断，如果选择方程组不合理可能无法解出u、v。

这里有个避免上述选择的做法，就是利用向量的点积，将向量转化为实数，方程两边同时点积一个向量：

    (v2) ・ v0 = (u * v0 + v * v1) ・ v0

    (v2) ・ v1 = (u * v0 + v * v1) ・ v1

进而

    v2 ・ v0 = u * (v0 ・ v0) + v * (v1 ・ v0)

    v2 ・ v1 = u * (v0 ・ v1) + v * (v1 ・ v1)

利用线性方程组的求解方法可以得到u、v：

    u = ((v1・v1)(v2・v0)-(v1・v0)(v2・v1)) / ((v0・v0)(v1・v1) - (v0・v1)(v1・v0))

    v = ((v0・v0)(v2・v1)-(v0・v1)(v2・v0)) / ((v0・v0)(v1・v1) - (v0・v1)(v1・v0))

此处，看到出现了除法，不能保证除数不等于0。可以分析什么情况下除数为0，预先判断即可。

     (v0・v0)(v1・v1) - (v0・v1)(v1・v0) = 0

上式中如果 v0 或 v1 等于 0，则三角形便会退化成线段或者点的情况，这变成了点位于线段上的问题。

当v0、v1都不为0时，由内积公式，上式转变为：

          (v0・v1)(v0・v1) / ((v0・v0)(v1・v1))
       = |v0|^2 * |v1|^2 * (cos<v0,v1> )^2 / (|v0|^2 * |v1|^2)
       = (cos<v0,v1>)^2 
       = 1

进而可以知道：

     <v0, v1> = 0 或者 <v0, v1> = PI

v0和v1的夹角无论是哪一种情况，都表示v0和v1是共线的。剩下的又变成了顶点是否位于线段上的问题。

当 (v0・v0)(v1・v1) - (v0・v1)(v1・v0) != 0 时，便可求解u、v，进而确定P相对于三角形的位置。

算法的描述如下：

      function PointInTriangle(p, a,b,c)

          v0 = a - c; v1 = b -c; v2 = p - c；

          dot00 = dot(v0, v0); dot01 = dot(v0, v1); dot11 = dot(v1, v1);

          invDemon = dot00 * dot11 - dot01 * dot01;

          if (invDemon < epsilon && invDemon > -epsilon)

                     return PointInLineSegment(p, a, b) || PointInLineSegment(p, a, c) || PointInLineSegment(p, b, c)

          invDemon = 1 / invDemon;

          dot02 = dot(v0, v2); dot12 = dot(v1, v2);

          u = (dot11*dot02 - dot01*dot12) * invDemon;

          v = (dot00*dot12 - dot01*dot02) * invDemon;

          return 0<= u、v <= 1 && u + v <= 1

顶点是否位于线段上的判定算法PointInLineSegment，参看前篇博文。

重心法相较方法2中的同侧比较运算要少，所以更高效些。详细讨论见[1].

参考：

[1]  http://www.blackpawn.com/texts/pointinpoly/default.html

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