条件随机场(CRF) - 4 - 学习方法和预测算法(维特比算法)
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1，本篇为个人对《2012.李航.统计学习方法.pdf》的学习总结，不得用作商用，欢迎转载，但请注明出处（即：本帖地址）。
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4，如果能帮到你，那真是太好了。
学习方法
条件随机场模型实际上是定义在时序数据上的对数线性模型，其学习方法包括极大似然估计和正则化的极大似然估计。
具体的优化实现算法有改进的迭代尺度法IIS、梯度下降法以及拟牛顿法。
改进的迭代尺度法(IIS)
已知训练数据集，由此可知经验概率分布
可以通过极大化训练数据的对数似然函数来求模型参数。
训练数据的对数似然函数为
当Pw是一个由
给出的条件随机场模型时，对数似然函数为
IIS通过迭代的方法不断优化对数似然函数改变量的下界，达到极大化对数似然函数的目的。
假设模型的当前参数向量为w=(w1,w2, ..., wK)T，向量的增量为δ=(δ1,δ2, ..., δK)T，更新参数向量为w +δ=(w1+δ1, w2 +δ2, ..., wk +δk)T。在每步迭代过程中，IIS通过一次求解下面的11.36和11.37，得到δ=(δ1,δ2, ..., δK)T。
关于转移特征tk的更新方程为：
关于状态特征sl的更新方程为：
这里T(x, y)是在数据(x, y)中出现所有特征数的综合：
于是算法整理如下。
算法：条件随机场模型学习的改进的迭代尺度法
输入：特征函数t1,t2, ..., tK1，s1, s2, ..., sK2；经验分布
输出：参数估计值 
；模型。
过程：
拟牛顿法
对于条件随机场模型
学习的优化目标函数是
其梯度函数是
拟牛顿法的BFGS算法如下：
算法：条件随机场模型学习的BFGS算法
预测算法
条件随机场的预测问题是给定义条件随机场P(Y|X)和输入序列(观测序列)x，求条件概率最大的输出序列(标记序列)y*，即对观测序列进行标注。
条件随机场的预测算法是著名的维特比算法。
在介绍维特比算法之前，我先用通俗的语言描述下它。
假设我们遇到了这么个问题：
大学时你让室友帮你带饭(如果你上过大学，别告诉我你别干过这事....)，然后你室友问你想吃啥？你回答：“你吃啥我吃啥，不过回来时帮忙带瓶雪碧，谢啦”。于是有趣的事就发生了：你室友给你带回了饭和雪碧并兴高采烈的说：“我去，食堂换大厨了，那个小卖部的收银员换成了个漂亮妹子！！”然后你问他：“你去的哪个食堂和小卖部？”，他想了想回答：“你猜。”
好了，你猜吧~
我猜你妹啊(╯‵□′)╯︵┻━┻
嘛，先别慌掀桌，不管如何你室友帮你带了饭，所以咱们就满足下他那小小的恶作剧，就当做是给他跑腿的辛苦费好了。
PS：假设你学校有2个小卖部和2个食堂。
于是，mission start！
首先，问他：你先去得小卖部？他回答：是的。
OK，买东西的先后顺序搞定了。
那就开始想：
第一步：从宿舍到小卖部A和B的距离都差不多，不好判断；
第二步：从小卖部A、B到食堂1、2有四种路线(A1, A2,B1, B2)，然后这四种路线中到食堂1最短的是B1，到食堂2最短的是A2；
第三步：看看他给带来的饭，嗯....这个饭我记得食堂1有卖，食堂2不知道，就当没有吧，那就假设他去的是食堂1；
第四步：既然他去的是食堂1，按照这货的习惯，绝壁选个最近的小卖部，所以他会选择距离食堂1最近的小卖部B；
第五步：对他说：“你先去小卖部B然后去食堂1对吧”，他说：“我次奥，你咋知道的”。
好了，例子举完了，我们来看看维特比算法，其实维特比算法就是上面的过程：先从前向后推出一步步路径的最大可能（从出发点到第一个目的地集合的每个可能性，从第一个目的地集合到第二个目的地集合的每个可能性，以此类推），然后在确定终点之后在反过来选择前面的路径（确定终点是食堂1了，那因为室友选择到食堂1的路线B1的可能性大于路线A1，所以按照路线，终点的上一个目的地集合里，室友就选择的小卖部B，以此类推），最终确定最优路径。
现在，你对维特比算法是什么就有概念了吧，下面来看看其数学描述。
在上面的例子中你会发现：“每个路径可能性”的确定是十分重要的。既然如此，我们就得看看条件随机场的“每个路径可能性”，即：条件随机场的局部特征向量。
由
可得：
于是，条件随机场的预测问题成为求非规范化概率最大的最优路径问题
这里，路径表示标记序列，其中
注意，这时只需计算非规范化概率，而不必计算概论，可以大大提高效率。
为了求解最优路径，将11.52式写成如下形式：
其中
就是局部特征向量。
下面叙述维特比算法。
首先求出位置1的各个标记j=1,2,...,m的非规范化概率：
PS：m指的位置1的数量，比如上面的例子中位置1只有2个(小卖部1和小卖部2)，那m就为2。下面同理。
一般的，有递推公式，求出到位置i的各个标记l=1,2,...,m的非规范化概率的最大值，同时记录非规范化概率最大值的路径：
直到i=n时终止。这时求得非规范化概率的最大值为：
最优路径的终点
由此最优路径终点返回
求得最优路径
y*= (y1*, y2*, ..., yn*)T。
综上所述，得到条件随机场预测的维特比算法。
算法：条件随机场预测的维特比算法
下面通过一个例子来说明维特比算法。
例子
对于之前用过的例11.1(如下图)，用维特比算法求给定的输入序列(观测序列)x对应的输出序列(标记序列)y* = (y1*, y2*, y3*)；
解：
下面是步骤截图，在后面我会有讲解
解释：
首先，例11.1实际上就是在叙述下图：
第一步初始化：
因为y1=1和y1=2是最初，所以就不用考虑转移的情况了(实际上也没有“表达从y0转移到y1的情况”的t函数(转移函数))，直接从状态函数(s函数中找)，发现，s1和s2分别对应y1=1和y1=2，说明y1=1和y1=2这个状态都是存在的，而s1和s2的权值分别是1和0.5，且上面列出的s函数们和t函数们值都为1，所以y1=1和y2=1的可能性分别是1和0.5。
所以，到达y1的非规范化概率最大值为：δ1(1) = 1，δ1(2) = 0.5。
第二步递推：
i=2(达第二处目的地集合{y2=1, y2=2})：
首先是路线(仅说明到达y2=1的情况)：
上图可知，到达y2=1的路线有如下几条：
路线1：从y1=1出发 ----(经过t2)---->到达y2=1；
路线2：从y1=2出发 ----(经过t4)---->到达y2=1；
接着是状态(仅说明到达y2=1的情况)：
根据题目可知：i=2时的状态函数只有s2和s3，而y2=1对应的函数是s3
所以到达y2=1的非规范化概率最大值为：
δ2(1) = max{1+λ2t2 + u3s3,0.5 + λ4t4 + u3s3}= 2.4
PS：这里相对于原题我多加了个u3s3，因为用上面这种思路可以解释通其他所有的δi，如果这种想法有问题，还请告知，不胜感激。
非规范化概率最大值的路径为：
ψ2(1) = 1
δ2(2)同理。
i=3也一样（只不过对于δ3(1)中的u5s5，我认为应该是u3s3，先不说s3对应的是y3=1的情况，而且原题中根本没有s5函数）。
第三部终止：
这步就简单了，在δ3(l)中δ3(1) = 4.3最大，所以y3中取1的可能性最大，即y3*=1。
第四步返回：
然后反着推：
从y2的哪个值到y3可能性最大呢？在第二部已经解出：ψ3(1) = 2，即y2到达y3=1的路线中权值最大的是y2=2，即y2*=2。
同理，从y1=1到y2=2的可能性最大，即y1*=1。
最后就得到标记序列
y*= (y1*, y2*, y3*)= (1, 2, 1)