HDU 4746 Mophues

莫比乌斯函数完整定义的通俗表达：

1）莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N

2）μ(1)=1

3）当n存在平方因子时，μ(n)=0

4）当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1

5）当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1

/*
*  [题意]
*	给出n, m, p，求有多少对a, b满足gcd(a, b)的素因子个数<=p
*		(其中1<=a<=n, 1<=b<=m)
*
*  [解法]
*	设A(d)：gcd(a, b)=d的有多少种
*	设B(j): gcd(a, b)是j的倍数的有多少种，易知B(j) = (n/j)*(m/j)
*	则由容斥原理得：（注：不同行的μ是不相同的，μ为莫比乌斯函数）
*	A(1) = μ(1)*B(1) + μ(2)*B(2) + μ(3)*B(3) + ... + μ(p1*p2...)*B(p1*p2...)
*	A(2) = μ(1)*B(1*2) + μ(2)*B(2*2) + μ(3)*B(3*2) + ... + μ(p1*p2..)*B(p1*p2..*2)
*		...
*	A(d) = μ(1)*B(1*d) + μ(2)*B(2*d) + μ(3)*B(3*d) + ... + μ(p1*p2..)*B(p1*p2..*d)
*
*--> ans = A(1)+A(2)+...+A(d) = F(1)*B(1) + F(2)*B(2) + ... + F(p1*p2..)*B(p1*p2..)
*
*	于是可以枚举公约数i{表示A(i)}，利用筛法找出i的倍数j，i对B(j)的贡献系数为：F(j)+=μ(j/i)
*	总之，求出B(j)的总贡献系数F(j)即可得答案：F(1)*B(1)+F(2)*B(2)+...+F(n)*B(n)
*
*	上面没有限制gcd的素因子个数，要限制其实不难，给系数加多一维即可：
*	F(d)(p)表示：素因子个数<=p时，对B(d)的贡献系数
*
*  [分块加速思想]
*	你可以再纸上模拟一下：
*	设d在[i, n/(n/i)]的区间上，则该区间内所有的n/d都是一样的
*
*/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define M 500005
#define N 19

//返回n中有多少个x因子
int cal(int n, int x) {
	int res = 0;
	do {
		++res;
		n /= x;
	} while (n % x == 0);
	return res;
}

//备注：分块加速求解需要求前缀和
//F[i][j]: 表示素因子个数<=j条件下的莫比乌斯前缀和：μ(1)+μ(2)+...+μ(i)
int F[M][N];
int num[M];		//num[i]: i中含有多少个素因子
int h[M];		//h[i]: -1表示存在平方因子，否则表示有多少种素因子

//莫比乌斯函数的定义
int mob(int n) {
	if (h[n] == -1) return 0;	//存在平方因子时，μ(n)=0
	if (h[n] & 1) return -1;	//奇数个不同素数之积，μ(n)=-1
	return 1;					//偶数个不同素数之积，μ(n)=1
}

int main() {
	int t, n, m, p, i, j;
	//筛法算出num[]以及h[]
	for (i = 2; i < M; i++) {
		if (num[i]) continue;
		for (j = i; j < M; j+=i) {
			int tp = cal(j, i);
			num[j] += tp;
			if (tp > 1) {	//j中含有多个i，必然存在平方因子
				h[j] = -1;
			} else if (h[j] >= 0) {
				++h[j];
			}
		}
	}
	//枚举i作为公因子，对B(j)的贡献值为：mob(j/i)
	for (i = 1; i < M; i++) {
		for (j = i; j < M; j+=i) {
			F[j][num[i]] += mob(j/i);
		}
	}
	//为了表示素因子数<=j的意义，求j的前缀和
	for (i = 1; i < M; i++) {
		for (j = 1; j < N; j++) {
			F[i][j] += F[i][j-1];
		}
	}
	//为了分组加速求解，求i的前缀和
	for (i = 1; i < M; i++) {
		for (j = 0; j < N; j++) {
			F[i][j] += F[i-1][j];
		}
	}
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);
		LL ans = 0;
		if (p >= N) {
			ans = (LL)n*m;
		} else {
			if (n > m) {
				n ^= m; m ^= n; n ^= m;
			}
			for (i = 1; i <= n; i = j + 1) {
				j = min(n/(n/i), m/(m/i));
				ans += ((LL)F[j][p]-F[i-1][p])*(n/i)*(m/i);
			}
		}
		printf("%I64d\n", ans);
	}
	return 0;
}