[从头学数学] 第114节 几何图形初步

剧情提要：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了筑基初期的修炼，
这次要修炼的目标是[几何图形初步]。

正剧开始：

星历2016年03月01日 09:32:04, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起研究[几何图形初步]。

关于正方体的展开图有哪些，这里有一张图：

下面这题还真是难，阿伟和小伟都不能确定答案。

这个图怎么画呢？

<span style="font-size:18px;">function myDraw() {     
    var config = new PlotConfiguration();      
    config.init();      
    config.setPreference();     
      
    config.setSector(1,1,1,1);    
    //config.axis3D(0, 0, 0, 180);    
      
	var r = 100;
	var array = shape.nStar(0, 0, r, 5);
	var array2 = shape.nEdge(0, 0, r, 5);

	var tmp = [].concat(array);
	shape.fillDraw(tmp, 'pink');
	tmp = [].concat(array2);
	shape.strokeDraw(tmp, 'pink');
	
	
	var r0 = Math.cos(Math.PI/5*2) / Math.cos(Math.PI/5) * r;
	var array3 = shape.nEdge(0, 0, r0, 5, Math.PI);
	
	tmp = [].concat(array3);
	shape.strokeDraw(tmp, 'white');

  
}  </span>

可见两个五边形的半径是cos(72)/cos(36)的关系。[角度制]

另一个图案是这样的：

<span style="font-size:18px;">function myDraw() {     
    var config = new PlotConfiguration();      
    config.init();      
    config.setPreference();     
      
    config.setSector(1,1,1,1);    
    //config.axis3D(0, 0, 0, 180);    
      
	var r = 100;
	var array = shape.nEdge(0, 0, r, 6);
	
	r *= Math.sin(Math.PI/3);
	var array2 = shape.nEdge(0, 0, r, 3, Math.PI);

	var tmp = [].concat(array);
	shape.strokeDraw(tmp, '#0088CC');
	tmp = [].concat(array2);
	shape.fillDraw(tmp, 'pink');
	
	
	var array3 = shape.nEdge(0, 0, r, 3);
	
	tmp = [].concat(array3);
	shape.fillDraw(tmp, '#0088CC');
	tmp = [].concat(array3);
	shape.strokeDraw(tmp, 'white');
	

  
}  </span>

[人叫板老师]的知识点讲解完毕，下面该[机器小伟]来画图了。

小伟先画了一个圆柱：

<span style="font-size:18px;">//三维点
function point3D(x0, y0, z0) {
	//canvas中y轴坐标向下为正，与笛卡尔坐标系相反
	//所以此处先取反
	//
	z0 = z0 /2;
	x0 = x0 - z0*0.707;
	y0 = y0 + z0*0.707;
	
	
	return [x0, y0];	
}


/**
* @usage   绘制三维的椭圆，平行于xz | yz | xz平面，其余情况忽略
* @author  mw
* @date    2016年02月21日  星期日  08:29:00 
* @param   以[x,y,z]三维点为中心，r为半径的椭圆
* @return  椭圆上点按顺时针排列的数组，已转为二维视图坐标
*
*/
function ellipse(xyz, r, face) {
	var center = new Array();
	center = xyz;
	
	var retArray = new Array();
	
	var angle = 0;
	var x, y, z;
	
	face = face ? face : 'xz';
	
	//圆周细分为36点
	for (var i = 0; i < 36; i++) {
		if (face == 'xz') {
			//平行xz平面
			x = center[0] + r * Math.cos(angle-Math.PI/9);
			y = -center[1];
			z = center[2] + r * Math.sin(angle-Math.PI/9);
		}
		else if (face == 'yz') {
			//平行yz平面
			x = center[0];
			y = -center[1] + r * Math.sin(angle-Math.PI/9);
			z = center[2] + r * Math.cos(angle-Math.PI/9);
		
		}
		else {
			//平行xy平面
			x = center[0] + r * Math.cos(angle-Math.PI/9);
			y = -center[1] + r * Math.sin(angle-Math.PI/9);
			z = center[2];
		
		}
		
		retArray.push(point3D(x, y, z));
		
		angle += Math.PI*2/36;
	}
	
	return retArray;
}



function myDraw() {     
    var config = new PlotConfiguration();      
    config.init();      
    config.setPreference();     
    config.setSector(1,1,1,1);  
    config.axis3D(0, 0,0, 180);  
  
    var r = 100;  
    //document.write(ellipse([0, 0, 0], r));  
    //shape.strokeDraw(ellipse([0, 0, 0], r), 'red');  
      
    var top = ellipse([100, r, r], r, 'yz');  
    var bottom = ellipse([-100, r, r], r, 'yz');  
  
	var tmp = [].concat(top);
    shape.strokeDraw(tmp, 'red');  
	tmp = [].concat(bottom);
    shape.strokeDraw(tmp, 'red');  
	shape.strokeDraw(ellipse([0, r, r], r, 'yz'), 'pink');

      
    //document.write(top[0][0]);  
    var mid = top.length/4;  
	var mid2 = top.length/4*3;
      
    plot.setStrokeStyle('red');  
    plot.beginPath()  
        .moveTo(top[mid2][0], top[mid2][1])  
        .lineTo(bottom[mid2][0], bottom[mid2][1])  
        .moveTo(bottom[mid][0], bottom[mid][1])  
        .lineTo(top[mid][0], top[mid][1])         
        .closePath()  
        .stroke();  
      
      
}</span>

再画一个长方体：

<span style="font-size:18px;">//长方体和正方体绘制
function rectBlock(a, b, h) {  
    return [[0,0,0],[0,0,h],[0,b,0],[0,b,h],[a,0,0],[a,0,h],[a,b,0],[a,b,h]];  
  
}  
  
function strokeBlock(a, b, h) {  
    //顶点的计算  
    var array = rectBlock(a, b, h);  
      
    //把长方体八个顶点进行排序。  
    var all = shape.xyzSort(array);
      
    //长方体表现出来右侧面，上侧面，前侧面，这里的后两个元素是调换了位置的。  
    //这样才可以连成闭合图形。  
    var a = [all[4], all[5], all[7], all[6]];  
    var b = [all[1], all[5], all[7], all[3]];  
    var h = [all[6], all[7], all[3], all[2]];  
      
    var tmp = new Array();  
      
    for (var i = 0; i < a.length; i++) {  
        tmp.push(point3D(a[i][0], -a[i][1], a[i][2]));  
    }  
      
    shape.fillDraw(tmp, 'red');  
          
    for (var i = 0; i < b.length; i++) {  
        tmp.push(point3D(b[i][0], -b[i][1], b[i][2]));  
    }  
      
    shape.strokeDraw(tmp, 'blue');  
      
    for (var i = 0; i < h.length; i++) {  
        tmp.push(point3D(h[i][0], -h[i][1], h[i][2]));  
    }  
      
    shape.fillDraw(tmp, 'green');  
      
      
}  

function myDraw() {     
    var config = new PlotConfiguration();      
    config.init();      
    config.setPreference();     
      
    config.setSector(1,1,1,1);    
    config.axis3D(0, 0, 0, 180);    
      
    for (var i = 1; i < 4; i++) {  
        for (var j = 1; j < 4; j++) {  
            strokeBlock(100, 60, 50);  
        }  
    }  
  
}  </span>

再画一个五棱锥

<span style="font-size:18px;">function myDraw() {     
    var config = new PlotConfiguration();      
    config.init();      
    config.setPreference();     
      
    config.setSector(1,1,1,1);    
    config.axis3D(0, 0, 0, 180);    
      
	var r = 100;
	var array = shape.nEdge(0, 0, 100, 5);
	var array3D = [];
	
	//shape.strokeDraw(array);
	
	for (var i = 0; i < array.length; i++) {
		array3D.push(point3D(array[i][0], 0, array[i][1]));
	}
	
	//shape.strokeDraw(array3D);
	
	var tmp = [].concat(array3D);
	
	shape.strokeDraw(tmp, 'red');
	
	var pointA = point3D(0, -r, 0);
	
	plot.setStrokeStyle('red');
	for (var i = 0; i < array.length; i++) {		
		plot.beginPath()
			.moveTo(array3D[i][0], array3D[i][1])
			.lineTo(pointA[0], pointA[1])
			.closePath()
			.stroke();
	}
  
}  </span>

几何图形绘制工具：

/**
* @usage   常用形状类
* @author  mw
* @date    2015年11月29日  星期日  10:21:18 
* @param
* @return
*
*/

var shape = function Shape() {
	
	//以给定点为中点的矩形
	this.strokeRect = function(x, y, w, h) {
		w = Math.abs(w);
		h = Math.abs(h);
		return plot.strokeRect(x-w/2, y-h/2, w, h);
	}
	
	//以给定点为中点的矩形
	this.fillRect = function(x, y, w, h) {
		w = Math.abs(w);
		h = Math.abs(h);
		return plot.fillRect(x-w/2, y-h/2, w, h);
	}
	
/**
* @usage   绘制点阵列
* @author  mw
* @date    2016年02月21日  星期日  15:16:47 
* @param
* @return
*
*/
	this.pointDraw = function(array, style) {
		style = style ? style : 'black';
		
		plot.save()
			.setFillStyle(style);
		
		var a = new Array();
		a = array[0];
		if (a.length != 2) {
			while (array.length > 0) {  
				shape.fillCircle(array.shift(), array.shift(), 5);  
			}   
		}
		else {				
			while (array.length > 0) {  
				a = array.shift();
				shape.fillCircle(a[0], a[1], 5);  
			}  	
		}
		
		plot.restore();
	
	}
	
//连接成折线
	this.multiLineDraw = function(array,style) {
		style = style ? style : 'black';
		
		plot.save()
			.setStrokeStyle(style);
		
		var a = new Array();
		a = array[0];
		if (a.length != 2) {
		
			if (array.length > 2 && array.length % 2 == 0) {  
				plot.beginPath()  
					.moveTo(array.shift(), array.shift());  
				while (array.length > 2) {  
					plot.lineTo(array.shift(), array.shift());  
				}  
				plot.lineTo(array[0], array[1])
					.moveTo(array[0], array[1]);
				plot.closePath()  
					.stroke();  
			}  
		}
		else {
			if (array.length > 2) {
				a = array.shift();
				plot.beginPath()  
					.moveTo(a[0], a[1]);  
					
				while (array.length > 0) {  
					a = array.shift();
					plot.lineTo(a[0], a[1]);  
				}  
				plot.moveTo(a[0], a[1]);
				plot.closePath()  
					.stroke();  
			}
		
		}
		
		plot.restore();
	
	}
	
	this.fillDraw = function(array, style) {
		style = style ? style : 'black';
		
		plot.save()
			.setFillStyle(style);
		
		var a = new Array();
		a = array[0];
		if (a.length != 2) {
		
			if (array.length > 2 && array.length % 2 == 0) {  
				plot.beginPath()  
					.moveTo(array.shift(), array.shift());  
				while (array.length > 0) {  
					plot.lineTo(array.shift(), array.shift());  
				}  
				plot.closePath()  
					.fill();  
			}  
		}
		else {
			if (array.length > 2) {
				a = array.shift();
				plot.beginPath()  
					.moveTo(a[0], a[1]);  
					
				while (array.length > 0) {  
					a = array.shift();
					plot.lineTo(a[0], a[1]);  
				}  
				plot.closePath()  
					.fill();  
			}
		
		}
		
		plot.restore();
	
	}
	
	
	this.strokeDraw = function(array,style) {
		style = style ? style : 'black';
		
		plot.save()
			.setStrokeStyle(style);
		
		var a = new Array();
		a = array[0];
		if (a.length != 2) {
		
			if (array.length > 2 && array.length % 2 == 0) {  
				plot.beginPath()  
					.moveTo(array.shift(), array.shift());  
				while (array.length > 0) {  
					plot.lineTo(array.shift(), array.shift());  
				}  
				plot.closePath()  
					.stroke();  
			}  
		}
		else {
			if (array.length > 2) {
				a = array.shift();
				plot.beginPath()  
					.moveTo(a[0], a[1]);  
					
				while (array.length > 0) {  
					a = array.shift();
					plot.lineTo(a[0], a[1]);  
				}  
				plot.closePath()  
					.stroke();  
			}
		
		}
		
		plot.restore();
	
	}
	
	/**
	* @usage  以顶点递推方式绘制正多边形 #1
	* @author  mw
	* @date    2015年12月01日  星期二  09:42:33 
	* @param  (x, y)图形中心坐标，r 外接圆半径 edge 边数
	* @return
	*
	*/

	this.nEdge = function(x, y, r, edge, angle0) {
		edge = edge ? edge : 5;
		angle0 = angle0 ? angle0 : 0;
		
		var retArray = new Array();
		
		var perAngle = Math.PI * 2 / edge;
		
		var a = r * Math.sin(perAngle / 2);
		var angle = -angle0;
		var xOffset = r * Math.sin(perAngle / 2 - angle0);
		var yOffset = r * Math.cos(perAngle / 2 - angle0);
					
				
		var x1 = x-xOffset;
		var y1 = y+yOffset;		
		
		for (var i=0; i < edge; i++) {			
			retArray.push([x1, y1]);
			x1 = x1 + 2 * a * Math.cos(angle);
			y1 = y1 + 2 * a * Math.sin(angle);
			angle -= perAngle;
			
		}
	
		return retArray;
	
	}
	
	/**
	* @usage   空心星形   #2 #201 #202
	* @author  mw
	* @date    2015年12月01日  星期二  10:06:13 
	* @param
	* @return
	*
	*/	
	this.nStar = function(x, y, r, edge, angle0, arg1, arg0) {
		edge = edge ? edge : 5;
		angle0 = angle0 ? angle0 : Math.PI/2;
	
		var retArray=new Array();
		
		var perAngle = Math.PI * 2 / edge;
		

		var r0 = arg0 ? arg0 * r : r / (2 * (1 + Math.cos(perAngle)));
		var scale = arg1 ? arg1 : 0.5;
		var angle = 0.5 * perAngle - angle0 * scale / 0.5;
		var xOffset = x;
		var yOffset = y;
		
		for (var i =0; i< edge; i++) {
			retArray.push(r0 * Math.cos(angle) + xOffset);
			retArray.push(r0 * Math.sin(angle) + yOffset);
			retArray.push(r * Math.cos(angle - scale * perAngle) + xOffset);
			retArray.push(r * Math.sin(angle - scale * perAngle) + yOffset);
			
			angle -= perAngle;
		}	

		return retArray;

	}
	
/**
* @usage   平行线， 平行四边形， 梯形
* @author  mw
* @date    2016年01月24日  星期日  11:14:43 
* @param
* @return
*
*/
/*
平行线 Parallel lines
平行四边形 Parallel quadrilateral
梯形 trapezoid
*/
	this.paraline = function(x, y, r, rot) {
		rot = rot ? -rot : 0;
		y = y ? -y : 0;
		plot.beginPath()
			.moveTo(x, y)
			.lineTo(x + r * Math.cos(rot), y + r*Math.sin(rot))
			.moveTo(x, y + r/ 10)
			.lineTo(x + r * Math.cos(rot), y+r/10 + r*Math.sin(rot))
			.closePath()
			.stroke();	

	};
	
	this.paraquad = function(x, y, rot, a, b, angle) {
		angle = angle ? Math.abs(angle) : 0;
		rot = rot ? rot : 0;
		//参数说明：
		//平行四边形的两条边a, b, 以及它们之间的夹角angle
		//这个平行四边形的起始点(x, y), 以及整个图形与x轴的夹角rot
			
		var retArray = new Array();
		retArray.push(x, -y);
		retArray.push(x + a * Math.cos(rot), -(y + a * Math.sin(rot)));
		retArray.push(x + a * Math.cos(rot)+ b * Math.cos(rot+angle), 
					  -(y + a * Math.sin(rot)+ b * Math.sin(rot+angle)));
		retArray.push(x + b * Math.cos(rot+angle), -(y + b * Math.sin(rot+angle)));
		
		return retArray;
	}
	
	this.trapezoid = function(x, y, rot, a, b, angle) {
		angle = angle ? Math.abs(angle) : 0;
		rot = rot ? rot : 0;
		//参数说明：
		//等腰梯形的下底边a，腰b, 以及它们之间的夹角angle
		//假设下底 > 上底，那么上底 = (a - b * Math.cos(angle)*2)/2
		//这个平行四边形的起始点(x, y), 以及整个图形与x轴的夹角rot
		
		var c = (a - b * Math.cos(angle)*2)/2;
		
		var retArray = new Array();
		if (c < 0) {
			//说明给的条件不对
			//缺省画上底是下底一半的梯形
			
		}
		else {
			retArray.push(x, -y);
			retArray.push(x + a * Math.cos(rot), -(y + a * Math.sin(rot)));
			retArray.push(x + b * Math.cos(rot+angle)+2*c * Math.cos(rot), 
						  -(y + b * Math.sin(rot+angle)+2*c*Math.sin(rot)));

			retArray.push(x + b * Math.cos(rot+angle), -(y + b * Math.sin(rot+angle)));
		}
		
		return retArray;
	}
	
	/**
	* @usage   绘制圆形
	* @author  mw
	* @date    2015年11月27日  星期五  12:11:38 
	* @param
	* @return
	*
	*/
	this.strokeCircle = function(x, y, r) {
			plot.beginPath()
			.arc(x, y, r, 0, 2*Math.PI, true)
			.closePath()
			.stroke();
	}

	this.fillCircle = function(x, y, r) {
		plot.beginPath()
			.arc(x, y, r, 0, 2*Math.PI, true)
			.closePath()
			.fill();
	}
	
	//绘制椭圆
	this.strokeEllipse = function(x, y, a, b, rotate) {
		//关键是bezierCurveTo中两个控制点的设置 
		//0.5和0.6是两个关键系数（在本函数中为试验而得） 
		var ox = 0.5 * a, 
		oy = 0.6 * b; 
		var rot = rotate ? -rotate : 0;
		plot.save()
			.rotate(rot)
			.translate(x, y)
			.beginPath()
			//从椭圆纵轴下端开始逆时针方向绘制 
			.moveTo(0, b)
			.bezierCurveTo(ox, b, a, oy, a, 0)
			.bezierCurveTo(a, -oy, ox, -b, 0, -b)
			.bezierCurveTo(-ox, -b, -a, -oy, -a, 0)
			.bezierCurveTo(-a, oy, -ox, b, 0, b)
			.closePath()
			.stroke()
			.restore(); 

	}
	//绘制椭圆
	this.fillEllipse = function(x, y, a, b, rotate) {
		//关键是bezierCurveTo中两个控制点的设置 
		//0.5和0.6是两个关键系数（在本函数中为试验而得） 
		var ox = 0.5 * a, 
		oy = 0.6 * b; 
		var rot = rotate ? -rotate : 0;
		plot.save()
			.rotate(rot)
			.translate(x, y)
			.beginPath()
			//从椭圆纵轴下端开始逆时针方向绘制 
			.moveTo(0, b)
			.bezierCurveTo(ox, b, a, oy, a, 0)
			.bezierCurveTo(a, -oy, ox, -b, 0, -b)
			.bezierCurveTo(-ox, -b, -a, -oy, -a, 0)
			.bezierCurveTo(-a, oy, -ox, b, 0, b)
			.closePath()
			.fill()
			.restore(); 

	}
	
/**
* @usage   绘制正方体
* @author  mw
* @date    2016年02月01日  星期一  08:40:27 
* @param
* @return
*
*/
this.drawCubic = function(x0, y0, z0, r, style, style2, style3) {
	plot.save();
	x0*=r;
	y0*=-r;
	z0*=r;
	z0 = z0 /2;
	x0 = x0 - z0*0.707;
	y0 = y0 + z0*0.707;
	z0 = 0;
	
	plot.translate(x0 + r/2, y0 - r/2);
	
	style = style ? style : 'black';
	style2 = style2 ? style2 : style;
	style3 = style3 ? style3 : style;
	//左下角[x0, y0，边长r
	shape.fillDraw(shape.nEdge(0, 0,0.707*r, 4, 0), style);
	//顶面
	shape.fillDraw(shape.paraquad(-0.5*r, 0.5*r, 0, r, r/2, Math.PI/4), style2);
	shape.strokeDraw(shape.paraquad(-0.5*r, 0.5*r, 0, r, r/2, Math.PI/4), 'white');
	//右侧面
	shape.fillDraw(shape.paraquad(0.5*r, -0.5*r, Math.PI/4, r/2, r, Math.PI/4), style3);
	shape.strokeDraw(shape.paraquad(0.5*r, -0.5*r, Math.PI/4, r/2, r, Math.PI/4), 'white');
	plot.restore();

}

/**
* @usage   把三维点阵列按照z, y, x优先级由小到大排列
* @author  mw
* @date    2016年02月23日  星期二  09:38:27 
* @param   [[x1, y1, z1], [x2,y2, z2], ...]
* @return  排序后的[[x, y, z]...]
*
*/

this.xyzSort = function(array) {
	var arr = new Array();
	arr = array;
	arr.sort(function(a, b) {
		if (a[2] != b[2]) {
			return a[2] - b[2];
		}
		else {
			if (a[1] != b[1]) {
				return (a[1] - b[1]);
			}
			else {
				return a[0] - b[0];
			}
		}
	});
	
	//document.write(arr);
	return arr;
}

/**
* @usage   三视图
* @author  mw
* @date    2016年02月23日  星期二  09:49:23 
* @param
* @return
*
*/
this.threeView = function(array, style) {
	var cubic = this.xyzSort(array);
	
	plot.save();
	
	plot.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0) 
		.translate(300, 200);
	
    //三维图和三视图      
    var r = 50;      
    style = style ? style : 'red';      
	var len = cubic.length;
          
    for (var i = 0; i < len; i++) {      
         this.drawCubic(cubic[i][0], cubic[i][1], cubic[i][2], r, style);      
    }            
    
    var height = 400;      
    r = r/3;      
          
    plot.setTransform(1, 0, 0, 1, 0, 0);      
    plot.fillText('左视图', 20, 20, 100);      
    plot.fillText('主视图', 20, 20+1*height/3, 100);      
    plot.fillText('俯视图', 20, 20+2*height/3, 100);      
          
    plot.setFillStyle(style)      
        .setStrokeStyle('white');      
              
      
    //左视图      
    plot.translate(100, 80);      
    for (var i = 0; i < len; i++) {      
        //y, z两坐标，z坐标变为x坐标      
        this.fillRect(cubic[i][2]*r, -cubic[i][1]*r, r, r);      
        this.strokeRect(cubic[i][2]*r, -cubic[i][1]*r, r, r);      
    }      
          
    //主视图      
    plot.translate(0, 130);      
    for (var i = 0; i < len; i++) {      
        //x, y两坐标      
        this.fillRect(cubic[i][0]*r, -cubic[i][1]*r, r, r);      
        this.strokeRect(cubic[i][0]*r, -cubic[i][1]*r, r, r);      
    }      
          
    //俯视图      
    plot.translate(0, 100);     
    for (var i = 0; i < len; i++) {      
        //x, z两坐标，z坐标变为y坐标      
        this.fillRect(cubic[i][0]*r, cubic[i][2]*r, r, r);      
        this.strokeRect(cubic[i][0]*r, cubic[i][2]*r, r, r);      
    }  

	plot.restore();
}

	
	return {
		fillRect:fillRect,
		strokeRect:strokeRect,
		fillCircle:fillCircle,
		strokeCircle:strokeCircle,
		strokeEllipse:strokeEllipse,
		fillEllipse:fillEllipse,
		
		//绘制点阵列
		pointDraw:pointDraw,
		multiLineDraw:multiLineDraw,
		strokeDraw:strokeDraw,
		fillDraw:fillDraw,
		
		nEdge:nEdge,
		nStar:nStar,
		paraline:paraline,
		paraquad:paraquad,
		trapezoid:trapezoid,
		
		//绘制立方体
		drawCubic:drawCubic,
		//三视图
		threeView:threeView,
		xyzSort:xyzSort
		
	
	};
}();

本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。