一:定义:在一个子程序(过程或函数)的定义中又直接或间接地调用该子程序本身,称为递归。递归是一种非常有用的程序设计方法。用递归算法编写的程序结构清晰,具有很好的可读性。递归算法的基本思想是:把规模大的、较难解决的问题变成规模较小的、易解决的同一问题。规模较小的问题又变成规模更小的问题,并且小到一定程度可以直接得出它的解,从而得到原来问题的解。
二:在二叉树中的应用
二叉树的遍历算法有多种,典型的有先序遍历、中序遍历、后序遍历以及层序遍历。而且这些遍历的递归算法较为简单,代码很少,容易实现,本文就是汇总二叉树遍历的递归算法。本文中用到的二叉树实例如下:
二叉树定义和辅助函数如下:
struct node {
int data;
struct node* left;
struct node* right;
};
void visit(int data)
{
printf("%d ", data);
}
1、先序遍历
先序遍历:先访问二叉树的根结点,而后遍历左子树,最后遍历右子树。先序遍历二叉树实例结果为:3 9 20 15 7。递归算法代码如下:
void preOrder(BiTree T)//T二叉树根指针
{
if (T) //先序遍历,判断二叉树是否为空
cout<<T->date<<"";//输出根节点
preOrder(T->lchild);//先遍历左子树
preOrder(T->rchild);
}
void inOrder(struct node* root)
{
if (root == NULL)
return;
inOrder(root->left);
visit(root->data);
inOrder(root->right);
}
3、后序遍历
后序遍历:先遍历二叉树的左子树,然后遍历二叉树右子树,最后访问根结点。后序遍历二叉树实例结果:9 15 7 20 3。递归算法代码如下:
void postOrder(struct node* root)
{
if (root == NULL)
return;
postOrder(root->left);
postOrder(root->right);
visit(root->data);
}
4、层序遍历
对于先序遍历、中序遍历以及后序遍历的递归算法,没有什么好说的,时间复杂度都为O(n)。而层序遍历的递归算法则稍微复杂一点,因为本身层序遍历用非递归算法是很容易实现的,不过使用递归算法代码更简洁,虽然递归算法的效率并不高。层序遍历二叉树实例结果:
39 2015 7
void printLevel(struct node *p, int level)
{
if (!p) return;
if (level == 1) {
visit(p->data);
} else {
printLevel(p->left, level-1);
printLevel(p->right, level-1);
}
}
void printLevelOrder(struct node *root)
{
int height = maxHeight(root); //maxHeight计算二叉树高度,如二叉树实例高度为3
for (int level = 1; level <= height; level++) {
printLevel(root, level);
printf("\n");
}
}
当二叉树高度为N时,此时递归层序遍历为最坏情况,时间复杂度为O(N^2)。当二叉树左右子树基本平衡时,时间复杂度为O(N),分析如下:
设访问第K层时间为T(k),则T(k)存在如下的递归公式:
T(k) = 2T(k-1) + c = 2k-1 T(1) + c = 2k-1 + c
当二叉树平衡时,则高度为O(lgN),则总时间为:
T(1) + T(2) + ... + T(lg N)= 1 + 2 + 22 + ... + 2lg N-1 + c= O(N)三:利用递归算法解题,首先要对问题的以下三个方面进行分析:
1、决定问题规模的参数。需要用递归算法解决的问题,其规模通常都是比较大的,在问题中决定规模大小(或问题复杂程度)的量有哪些?把它们找出来。
2、问题的边界条件及边界值。在什么情况下可以直接得出问题的解?这就是问题的边界条件及边界值。
3、解决问题的通式。把规模大的、较难解决的问题变成规模较小、易解决的同一问题,需要通过哪些步骤或等式来实现?这是解决递归问题的难点。把这些步骤或等式确定下来。
把以上三个方面分析好之后,就可以在子程序中定义递归调用。其一般格式为:
if 边界条件 1 成立 then
赋予边界值 1
【 elseif 边界条件 2 成立 then
赋予边界值 2
┇ 】
else
调用解决问题的通式
endif
例 1 : 计算勒让德多项式的值
javascript:window.open(this.src);"/>
x 、 n 由键盘输入。
分析: 当 n = 0 或 n = 1 时,多项式的值都可以直接求出来,只是当 n > 1 时,才使问题变得复杂,决定问题复杂程度的参数是 n 。根据题目提供的已知条件,我们也很容易发现,问题的边界条件及边界值有两个,分别是:当 n = 0 时 P n (x) = 1 和当 n = 1 时 P n (x) = x 。解决问题的通式是:
P n (x) = ((2n - 1)P n - 1 (x) - (n - 1)P n - 2 (x)) / n 。
接下来按照上面介绍的一般格式定义递归子程序。
function Pnx(n as integer)
if n = 0 then
Pnx = 1
elseif n = 1 then
Pnx = x
else
Pnx = ((2*n - 1)*Pnx(n - 1) - (n - 1)*Pnx(n - 2)) / n
endif
end function
例 2 : Hanoi 塔问题:传说印度教的主神梵天创造世界时,在印度北部佛教圣地贝拿勒斯圣庙里,安放了一块黄铜板,板上插着三根宝石针,在其中一根宝石针上,自下而上地放着由大到小的 64 个金盘。这就是所谓的梵塔( Hanoi ),如图。梵天要求僧侣们坚持不渝地按下面的规则把 64 个盘子移到另一根针上:
(1) 一次只能移一个盘子;
(2) 盘子只许在三根针上存放;
(3) 永远不许大盘压小盘。
梵天宣称,当把他创造世界之时所安放的 64 个盘子全部移到另一根针上时,世界将在一声霹雳声中毁灭。那时,他的虔诚的信徒都可以升天。
要求设计一个程序输出盘子的移动过程。
分析: 为了使问题更具有普遍性,设共有 n 个金盘,并且将金盘由小到大依次编号为 1 , 2 ,…, n 。要把放在 s(source) 针上的 n 个金盘移到目的针 o(objective) 上,当只有一个金盘,即 n = 1 时,问题是比较简单的,只要将编号为 1 的金盘从 s 针上直接移至 o 针上即可。可定义过程 move(s,1,o) 来实现。只是当 n>1 时,才使问题变得复杂。决定问题规模的参数是金盘的个数 n ;问题的边界条件及边界值是:当 n = 1 时, move(s,1,o) 。
当金盘不止一个时,可以把最上面的 n - 1 个金盘看作一个整体。这样 n 个金盘就分成了两个部分:上面 n - 1 个金盘和最下面的编号为 n 的金盘。移动金盘的问题就可以分成下面三个子问题(三个步骤):
(1) 借助 o 针,将 n - 1 个金盘(依照上述法则)从 s 针移至 i(indirect) 针上;
(2) 将编号为 n 的金盘直接从 s 针移至 o 针上;
(3) 借助 s 针,将 i 针上的 n - 1 个金盘(依照上述法则)移至 o 针上。如图
其中第二步只移动一个金盘,很容易解决。第一、第三步虽然不能直接解决,但我们已经把移动 n 个金盘的问题变成了移动 n - 1 个金盘的问题,问题的规模变小了。如果再把第一、第三步分别分成类似的三个子问题,移动 n - 1 个金盘的问题还可以变成移动 n - 2 个金盘的问题,同样可变成移动 n - 3 ,…, 1 个金盘的问题,从而将整个问题加以解决。
这三个步骤就是解决问题的通式,可以以过程的形式把它们定义下来:
hanoi(n - 1,s,o,i)
move(s,n,o)
hanoi(n - 1,i,s,o)
参考程序如下:
declare sub hanoi(n,s,i,o)
declare sub move(s,n,o)
input "How many disks?",n
s = 1
i = 2
o = 3
call hanoi(n,s,i,o)
end
sub hanoi(n,s,i,o)
rem 递归子程序
if n = 1 then
call move(s,1,o)
else
call hanoi(n - 1,s,o,i)
call move(s,n,o)
call hanoi(n - 1,i,s,o)
endif
end sub
sub move(s,n,o)
print "move disk";n;
print "from";s;"to";o
end sub