凸包与旋转卡壳
关于凸包的几个名词：
1.支撑线：
如果一条直接L通过凸多边形P的一个顶点，且多边形在这条直线的一侧，则称L是P的支撑线
2.对踵点：
如果过凸包上的两个点可以画一对平行线，使得凸包上左右的点都夹在两条平行线之间或者
落在平行线上那么两个点称为一对对踵点。两条平行的支撑线所过的两点就是一对对踵点。可以
证明一个凸n边形的对踵点最多有3n/2对
3.凸多边形的直径：
将一个多边形上任意两点间的距离的最大值定义为多边形的直径。确定这个直径的点对数可能
多于一对。
旋转卡壳求直径的步骤：
step1. 计算多边形y方向上的端点，ymin,ymax.
step2. 通过ymin,ymax,狗找两条水平的切线，由于它们已经是一对对踵点，计算它们之间的距
离
并维护一个当前的最大值。
step3. 同时旋转两条之间到其中一条于多边形的一条边重合。
step4. 一个新的对踵点产生，计算新的距离，并和当前的最大值做比较，若大于当前最大值则
更新。
step5. 重复操作3，4知道产生对踵点对(ymin,ymax).
分析：旋转卡壳的复杂度为O(n),求凸包的复杂度为O(nlogn).
题目链接：传送门
求凸包的直径的平方
代码如下：
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 5e4+10;
typedef struct Point{
int x,y;
bool operator <(const struct Point &B)const{
if(x==B.x) return y<B.y;
return x<B.x;
}
bool operator ==(const struct Point &B)const{
return (x-B.x)==0&&(y-B.y)==0;
}
}Vector;
Vector p[maxn],st[maxn];
int Cross(Point a,Point b,Point o) {
return (a.x - o.x) * (b.y - o.y) - (b.x - o.x) * (a.y - o.y);
}
int ConvexHull(Point *p,int n,Point *st){
sort(p,p+n);
n = unique(p,p+n)-p;
int m=0;
for(int i=0;i<n;i++){
while(m>1&&Cross(st[m-1],p[i],st[m-2])<=0) m--;
st[m++]=p[i];
}
int k=m;
for(int i=n-2;i>=0;i--){1
while(m>k&&Cross(st[m-1],p[i],st[m-2])<=0) m--;
st[m++]=p[i];
}
if(n>1) m--;
return m;
}
int dis(Point a,Point b){
return (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y);
}
//旋转卡壳求凸包的宽度
double rotating_calipers(Point *p,int n){
int k = 1;
double ans = 0x7FFFFFFF;
p[n] = p[0];
for(int i=0;i<n;i++){
while(fabs(cross(p[i],p[i+1],p[k])) < fabs(cross(p[i],p[i+1],p[k+1])))
k = (k+1) % n;
double tmp = fabs(cross(p[i],p[i+1],p[k]));
double d = dist(p[i],p[i+1]);
ans = min(ans,tmp/d);
}
return ans;
}
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d",&n)){
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
}
int m = ConvexHull(p,n,st);
int ans = rotatint_calipers(st,m);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
题目链接： 传送门
题意：
平面上n个点，求从这n个点所能组成的最大的三角形的面积。
分析：
首先求凸包。最大的三角形的顶点一定在凸包上，枚举顶点i,j,k,j=i+1,k=j+1.
很明显
在枚举k的时候我们可以固定i,j这两个点，然后找到当前能组成的最大的面积的点k.,而且k
的变化和j有关，因此不用从头开始枚举。
我们循环执行k+1,知道area(i,j,k+1)<area(i,j,k),这个时候更新最大的面积，然后可以
旋转
j,k，如果area(i,j,k)<area(i,j,k+1) k!=i,则k++,否则跳出，更新面积,j++,旋转一周可
以得到最大的三角形面积，时间复杂度O(n^2)
代码如下：
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 5e4+10;
const double eps = 1e-10;
int dcmp(double x){
if(fabs(x)<=0) return 0;
if(x>0) return 1;
else return -1;
}
typedef struct Point{
double x,y;
bool operator <(const struct Point &B)const{
if(x==B.x) return y<B.y;
return x<B.x;
}
bool operator ==(const struct Point &B)const{
return dcmp(x-B.x)==0&&dcmp(y-B.y)==0;
}
}Vector;
Vector p[maxn],st[maxn];
double Cross(Point a,Point b,Point o) {
return (a.x - o.x) * (b.y - o.y) - (b.x - o.x) * (a.y - o.y);
}
int ConvexHull(Point *p,int n,Point *st){
sort(p,p+n);
n = unique(p,p+n)-p;
int m=0;
for(int i=0;i<n;i++){
while(m>1&&Cross(st[m-1],p[i],st[m-2])<=0) m--;
st[m++]=p[i];
}
int k=m;
for(int i=n-2;i>=0;i--){
while(m>k&&Cross(st[m-1],p[i],st[m-2])<=0) m--;
st[m++]=p[i];
}
if(n>1) m--;
return m;
}
double dis(Point a,Point b){
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
double rotating_calipers(Point *p,int n){
double ans = 0;
int j,k;
for(int i=0;i<n;i++){
j=(i+1)%n;
k=(j+1)%n;
while(fabs(Cross(p[i+1],p[k],p[i]))<fabs(Cross(p[i+1],p[k+1],p[i])))
k=(k+1)%n;
while(j!=i&&k!=i){
ans=max(ans,fabs(Cross(p[i],p[k],p[j])));
while(fabs(Cross(p[i],p[k],p[j]))<fabs(Cross(p[i],p[(k+1)%n],p[j])))
k=(k+1)%n;
j=(j+1)%n;
}
}
return ans/2.0;
}
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d",&n)){
if(n==-1) break;
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
int m = ConvexHull(p,n,st);
//cout<<"m "<<m<<endl;
if(m<3) puts("0.00");
if(m==3) printf("%.2lf\n",fabs(Cross(st[0],st[1],st[2]))/2.0);
else{
double ans = rotating_calipers(st,m);
printf("%.2lf\n",ans);
}
}
return 0;
}