机器学习算法与Python实践之（七）逻辑回归（Logistic Regression）

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机器学习算法与Python实践之（七）逻辑回归（Logistic Regression）

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       机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

       这节学习的是逻辑回归（Logistic Regression），也算进入了比较正统的机器学习算法。啥叫正统呢？我概念里面机器学习算法一般是这样一个步骤：

1）对于一个问题，我们用数学语言来描述它，然后建立一个模型，例如回归模型或者分类模型等来描述这个问题；

2）通过最大似然、最大后验概率或者最小化分类误差等等建立模型的代价函数，也就是一个最优化问题。找到最优化问题的解，也就是能拟合我们的数据的最好的模型参数；

3）然后我们需要求解这个代价函数，找到最优解。这求解也就分很多种情况了：

      a）如果这个优化函数存在解析解。例如我们求最值一般是对代价函数求导，找到导数为0的点，也就是最大值或者最小值的地方了。如果代价函数能简单求导，并且求导后为0的式子存在解析解，那么我们就可以直接得到最优的参数了。

      b）如果式子很难求导，例如函数里面存在隐含的变量或者变量相互间存在耦合，也就互相依赖的情况。或者求导后式子得不到解释解，例如未知参数的个数大于已知方程组的个数等。这时候我们就需要借助迭代算法来一步一步找到最有解了。迭代是个很神奇的东西，它将远大的目标（也就是找到最优的解，例如爬上山顶）记在心上，然后给自己定个短期目标（也就是每走一步，就离远大的目标更近一点），脚踏实地，心无旁贷，像个蜗牛一样，一步一步往上爬，支撑它的唯一信念是：只要我每一步都爬高一点，那么积跬步，肯定能达到自己人生的巅峰，尽享山登绝顶我为峰的豪迈与忘我。

       另外需要考虑的情况是，如果代价函数是凸函数，那么就存在全局最优解，方圆五百里就只有一个山峰，那命中注定了，它就是你要找的唯一了。但如果是非凸的，那么就会有很多局部最优的解，有一望无际的山峰，人的视野是伟大的也是渺小的，你不知道哪个山峰才是最高的，可能你会被命运作弄，很无辜的陷入一个局部最优里面，坐井观天，以为自己找到的就是最好的。没想到山外有山，人外有人，光芒总在未知的远处默默绽放。但也许命运眷恋善良的你，带给你的总是最好的归宿。也有很多不信命的人，觉得人定胜天的人，誓要找到最好的，否则不会罢休，永不向命运妥协，除非自己有一天累了，倒下了，也要靠剩下的一口气，迈出一口气能支撑的路程。好悲凉啊……哈哈。

        呃，不知道扯那去了，也不知道自己说的有没有错，有错的话请大家不吝指正。那下面就进入正题吧。正如上面所述，逻辑回归就是这样的一个过程：面对一个回归或者分类问题，建立代价函数，然后通过优化方法迭代求解出最优的模型参数，然后测试验证我们这个求解的模型的好坏，冥冥人海，滚滚红尘，我们是否找到了最适合的那个她。

 

一、逻辑回归（LogisticRegression）

       Logistic regression （逻辑回归）是当前业界比较常用的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性。之前在经典之作《数学之美》中也看到了它用于广告预测，也就是根据某广告被用户点击的可能性，把最可能被用户点击的广告摆在用户能看到的地方，然后叫他“你点我啊！”用户点了，你就有钱收了。这就是为什么我们的电脑现在广告泛滥的原因了。

       还有类似的某用户购买某商品的可能性，某病人患有某种疾病的可能性啊等等。这个世界是随机的（当然了，人为的确定性系统除外，但也有可能有噪声或产生错误的结果，只是这个错误发生的可能性太小了，小到千万年不遇，小到忽略不计而已），所以万物的发生都可以用可能性或者几率（Odds）来表达。“几率”指的是某事物发生的可能性与不发生的可能性的比值。

       Logistic regression可以用来回归，也可以用来分类，主要是二分类。还记得上几节讲的支持向量机SVM吗？它就是个二分类的例如，它可以将两个不同类别的样本给分开，思想是找到最能区分它们的那个分类超平面。但当你给一个新的样本给它，它能够给你的只有一个答案，你这个样本是正类还是负类。例如你问SVM，某个女生是否喜欢你，它只会回答你喜欢或者不喜欢。这对我们来说，显得太粗鲁了，要不希望，要不绝望，这都不利于身心健康。那如果它可以告诉我，她很喜欢、有一点喜欢、不怎么喜欢或者一点都不喜欢，你想都不用想了等等，告诉你她有49%的几率喜欢你，总比直接说她不喜欢你，来得温柔。而且还提供了额外的信息，她来到你的身边你有多少希望，你得再努力多少倍，知己知彼百战百胜，哈哈。Logistic regression就是这么温柔的，它给我们提供的就是你的这个样本属于正类的可能性是多少。

       还得来点数学。（更多的理解，请参阅参考文献）假设我们的样本是{x, y}，y是0或者1，表示正类或者负类，x是我们的m维的样本特征向量。那么这个样本x属于正类，也就是y=1的“概率”可以通过下面的逻辑函数来表示：

       这里θ是模型参数，也就是回归系数，σ是sigmoid函数。实际上这个函数是由下面的对数几率（也就是x属于正类的可能性和负类的可能性的比值的对数）变换得到的：

       换句话说，y也就是我们关系的变量，例如她喜不喜欢你，与多个自变量（因素）有关，例如你人品怎样、车子是两个轮的还是四个轮的、长得胜过潘安还是和犀利哥有得一拼、有千尺豪宅还是三寸茅庐等等，我们把这些因素表示为x₁, x₂,…, x_m。那这个女的怎样考量这些因素呢？最快的方式就是把这些因素的得分都加起来，最后得到的和越大，就表示越喜欢。但每个人心里其实都有一杆称，每个人考虑的因素不同，萝卜青菜，各有所爱嘛。例如这个女生更看中你的人品，人品的权值是0.6，不看重你有没有钱，没钱了一起努力奋斗，那么有没有钱的权值是0.001等等。我们将这些对应x₁, x₂,…, x_m的权值叫做回归系数，表达为θ₁, θ₂,…, θ_m。他们的加权和就是你的总得分了。请选择你的心仪男生，非诚勿扰！哈哈。

       所以说上面的logistic回归就是一个线性分类模型，它与线性回归的不同点在于：为了将线性回归输出的很大范围的数，例如从负无穷到正无穷，压缩到0和1之间，这样的输出值表达为“可能性”才能说服广大民众。当然了，把大值压缩到这个范围还有个很好的好处，就是可以消除特别冒尖的变量的影响（不知道理解的是否正确）。而实现这个伟大的功能其实就只需要平凡一举，也就是在输出加一个logistic函数。另外，对于二分类来说，可以简单的认为：如果样本x属于正类的概率大于0.5，那么就判定它是正类，否则就是负类。实际上，SVM的类概率就是样本到边界的距离，这个活实际上就让logistic regression给干了。

       所以说，LogisticRegression 就是一个被logistic方程归一化后的线性回归，仅此而已。

好了，关于LR的八卦就聊到这。归入到正统的机器学习框架下，模型选好了，只是模型的参数θ还是未知的，我们需要用我们收集到的数据来训练求解得到它。那我们下一步要做的事情就是建立代价函数了。

       LogisticRegression最基本的学习算法是最大似然。啥叫最大似然，可以看看我的另一篇博文“从最大似然到EM算法浅解”。

       假设我们有n个独立的训练样本{(x₁, y₁) ,(x₂, y₂),…, (x_n, y_n)}，y={0, 1}。那每一个观察到的样本(x_i, y_i)出现的概率是：

       上面为什么是这样呢？当y=1的时候，后面那一项是不是没有了，那就只剩下x属于1类的概率，当y=0的时候，第一项是不是没有了，那就只剩下后面那个x属于0的概率（1减去x属于1的概率）。所以不管y是0还是1，上面得到的数，都是(x, y)出现的概率。那我们的整个样本集，也就是n个独立的样本出现的似然函数为（因为每个样本都是独立的，所以n个样本出现的概率就是他们各自出现的概率相乘）：

       那最大似然法就是求模型中使得似然函数最大的系数取值θ*。这个最大似然就是我们的代价函数（cost function）了。

       OK，那代价函数有了，我们下一步要做的就是优化求解了。我们先尝试对上面的代价函数求导，看导数为0的时候可不可以解出来，也就是有没有解析解，有这个解的时候，就皆大欢喜了，一步到位。如果没有就需要通过迭代了，耗时耗力。

       我们先变换下L(θ)：取自然对数，然后化简（不要看到一堆公式就害怕哦，很简单的哦，只需要耐心一点点，自己动手推推就知道了。注：有x_i的时候，表示它是第i个样本，下面没有做区分了，相信你的眼睛是雪亮的），得到：

       这时候，用L(θ)对θ求导，得到：

       然后我们令该导数为0，你会很失望的发现，它无法解析求解。不信你就去尝试一下。所以没办法了，只能借助高大上的迭代来搞定了。这里选用了经典的梯度下降算法。

 

二、优化求解

2.1、梯度下降(gradient descent)

        Gradient descent 又叫 steepest descent，是利用一阶的梯度信息找到函数局部最优解的一种方法，也是机器学习里面最简单最常用的一种优化方法。它的思想很简单，和我开篇说的那样，要找最小值，我只需要每一步都往下走（也就是每一步都可以让代价函数小一点），然后不断的走，那肯定能走到最小值的地方，例如下图所示：

      但，我同时也需要更快的到达最小值啊，怎么办呢？我们需要每一步都找下坡最快的地方，也就是每一步我走某个方向，都比走其他方法，要离最小值更近。而这个下坡最快的方向，就是梯度的负方向了。

对logistic Regression来说，梯度下降算法新鲜出炉，如下：

      其中，参数α叫学习率，就是每一步走多远，这个参数蛮关键的。如果设置的太多，那么很容易就在最优值附加徘徊，因为你步伐太大了。例如要从广州到上海，但是你的一步的距离就是广州到北京那么远，没有半步的说法，自己能迈那么大步，是幸运呢？还是不幸呢？事物总有两面性嘛，它带来的好处是能很快的从远离最优值的地方回到最优值附近，只是在最优值附近的时候，它有心无力了。但如果设置的太小，那收敛速度就太慢了，向蜗牛一样，虽然会落在最优的点，但是这速度如果是猴年马月，我们也没这耐心啊。所以有的改进就是在这个学习率这个地方下刀子的。我开始迭代是，学习率大，慢慢的接近最优值的时候，我的学习率变小就可以了。所谓采两者之精华啊！这个优化具体见2.3 。

       梯度下降算法的伪代码如下：

################################################

初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

        计算整个数据集的梯度

        使用alpha x gradient来更新回归系数

}

返回回归系数值

################################################

 

2.2、随机梯度下降SGD (stochastic gradient descent)

      梯度下降算法在每次更新回归系数的时候都需要遍历整个数据集（计算整个数据集的回归误差），该方法对小数据集尚可。但当遇到有数十亿样本和成千上万的特征时，就有点力不从心了，它的计算复杂度太高。改进的方法是一次仅用一个样本点（的回归误差）来更新回归系数。这个方法叫随机梯度下降算法。由于可以在新的样本到来的时候对分类器进行增量的更新（假设我们已经在数据库A上训练好一个分类器h了，那新来一个样本x。对非增量学习算法来说，我们需要把x和数据库A混在一起，组成新的数据库B，再重新训练新的分类器。但对增量学习算法，我们只需要用新样本x来更新已有分类器h的参数即可），所以它属于在线学习算法。与在线学习相对应，一次处理整个数据集的叫“批处理”。

        随机梯度下降算法的伪代码如下：

################################################

初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

        对数据集中每个样本

               计算该样本的梯度

                使用alpha xgradient来更新回归系数

 }

返回回归系数值

################################################

 

2.3、改进的随机梯度下降

      评价一个优化算法的优劣主要是看它是否收敛，也就是说参数是否达到稳定值，是否还会不断的变化？收敛速度是否快？

       上图展示了随机梯度下降算法在200次迭代中（请先看第三和第四节再回来看这里。我们的数据库有100个二维样本，每个样本都对系数调整一次，所以共有200*100=20000次调整）三个回归系数的变化过程。其中系数X2经过50次迭代就达到了稳定值。但系数X1和X0到100次迭代后稳定。而且可恨的是系数X1和X2还在很调皮的周期波动，迭代次数很大了，心还停不下来。产生这个现象的原因是存在一些无法正确分类的样本点，也就是我们的数据集并非线性可分，但我们的logistic regression是线性分类模型，对非线性可分情况无能为力。然而我们的优化程序并没能意识到这些不正常的样本点，还一视同仁的对待，调整系数去减少对这些样本的分类误差，从而导致了在每次迭代时引发系数的剧烈改变。对我们来说，我们期待算法能避免来回波动，从而快速稳定和收敛到某个值。

       对随机梯度下降算法，我们做两处改进来避免上述的波动问题：

1）在每次迭代时，调整更新步长alpha的值。随着迭代的进行，alpha越来越小，这会缓解系数的高频波动（也就是每次迭代系数改变得太大，跳的跨度太大）。当然了，为了避免alpha随着迭代不断减小到接近于0（这时候，系数几乎没有调整，那么迭代也没有意义了），我们约束alpha一定大于一个稍微大点的常数项，具体见代码。

2）每次迭代，改变样本的优化顺序。也就是随机选择样本来更新回归系数。这样做可以减少周期性的波动，因为样本顺序的改变，使得每次迭代不再形成周期性。

       改进的随机梯度下降算法的伪代码如下：

################################################

初始化回归系数为1

重复下面步骤直到收敛{

       对随机遍历的数据集中的每个样本

              随着迭代的逐渐进行，减小alpha的值

              计算该样本的梯度

              使用alpha x gradient来更新回归系数

    }

返回回归系数值

################################################

       比较原始的随机梯度下降和改进后的梯度下降，可以看到两点不同：

1）系数不再出现周期性波动。2）系数可以很快的稳定下来，也就是快速收敛。这里只迭代了20次就收敛了。而上面的随机梯度下降需要迭代200次才能稳定。

 

三、Python实现

      我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

logRegression.py

#################################################
# logRegression: Logistic Regression
# Author : zouxy
# Date   : 2014-03-02
# HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09
# Email  : [email protected]
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from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
import time


# calculate the sigmoid function
def sigmoid(inX):
    return 1.0 / (1 + exp(-inX))


# train a logistic regression model using some optional optimize algorithm
# input: train_x is a mat datatype, each row stands for one sample
#        train_y is mat datatype too, each row is the corresponding label
#        opts is optimize option include step and maximum number of iterations
def trainLogRegres(train_x, train_y, opts):
    # calculate training time
    startTime = time.time()

    numSamples, numFeatures = shape(train_x)
    alpha = opts['alpha']; maxIter = opts['maxIter']
    weights = ones((numFeatures, 1))

    # optimize through gradient descent algorilthm
    for k in range(maxIter):
        if opts['optimizeType'] == 'gradDescent': # gradient descent algorilthm
            output = sigmoid(train_x * weights)
            error = train_y - output
            weights = weights + alpha * train_x.transpose() * error
        elif opts['optimizeType'] == 'stocGradDescent': # stochastic gradient descent
            for i in range(numSamples):
                output = sigmoid(train_x[i, :] * weights)
                error = train_y[i, 0] - output
                weights = weights + alpha * train_x[i, :].transpose() * error
        elif opts['optimizeType'] == 'smoothStocGradDescent': # smooth stochastic gradient descent
            # randomly select samples to optimize for reducing cycle fluctuations
            dataIndex = range(numSamples)
            for i in range(numSamples):
                alpha = 4.0 / (1.0 + k + i) + 0.01
                randIndex = int(random.uniform(0, len(dataIndex)))
                output = sigmoid(train_x[randIndex, :] * weights)
                error = train_y[randIndex, 0] - output
                weights = weights + alpha * train_x[randIndex, :].transpose() * error
                del(dataIndex[randIndex]) # during one interation, delete the optimized sample
        else:
            raise NameError('Not support optimize method type!')


    print 'Congratulations, training complete! Took %fs!' % (time.time() - startTime)
    return weights


# test your trained Logistic Regression model given test set
def testLogRegres(weights, test_x, test_y):
    numSamples, numFeatures = shape(test_x)
    matchCount = 0
    for i in xrange(numSamples):
        predict = sigmoid(test_x[i, :] * weights)[0, 0] > 0.5
        if predict == bool(test_y[i, 0]):
            matchCount += 1
    accuracy = float(matchCount) / numSamples
    return accuracy


# show your trained logistic regression model only available with 2-D data
def showLogRegres(weights, train_x, train_y):
    # notice: train_x and train_y is mat datatype
    numSamples, numFeatures = shape(train_x)
    if numFeatures != 3:
        print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
        return 1

    # draw all samples
    for i in xrange(numSamples):
        if int(train_y[i, 0]) == 0:
            plt.plot(train_x[i, 1], train_x[i, 2], 'or')
        elif int(train_y[i, 0]) == 1:
            plt.plot(train_x[i, 1], train_x[i, 2], 'ob')

    # draw the classify line
    min_x = min(train_x[:, 1])[0, 0]
    max_x = max(train_x[:, 1])[0, 0]
    weights = weights.getA()  # convert mat to array
    y_min_x = float(-weights[0] - weights[1] * min_x) / weights[2]
    y_max_x = float(-weights[0] - weights[1] * max_x) / weights[2]
    plt.plot([min_x, max_x], [y_min_x, y_max_x], '-g')
    plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2')
    plt.show()

四、测试结果

        测试代码：

test_logRegression.py

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# logRegression: Logistic Regression
# Author : zouxy
# Date   : 2014-03-02
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from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
import time

def loadData():
    train_x = []
    train_y = []
    fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
    for line in fileIn.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        train_x.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        train_y.append(float(lineArr[2]))
    return mat(train_x), mat(train_y).transpose()


## step 1: load data
print "step 1: load data..."
train_x, train_y = loadData()
test_x = train_x; test_y = train_y

## step 2: training...
print "step 2: training..."
opts = {'alpha': 0.01, 'maxIter': 20, 'optimizeType': 'smoothStocGradDescent'}
optimalWeights = trainLogRegres(train_x, train_y, opts)

## step 3: testing
print "step 3: testing..."
accuracy = testLogRegres(optimalWeights, test_x, test_y)

## step 4: show the result
print "step 4: show the result..."
print 'The classify accuracy is: %.3f%%' % (accuracy * 100)
showLogRegres(optimalWeights, train_x, train_y)

        测试数据是二维的，共100个样本。有2个类。如下：

testSet.txt

-0.017612   14.053064   0
-1.395634   4.662541    1
-0.752157   6.538620    0
-1.322371   7.152853    0
0.423363    11.054677   0
0.406704    7.067335    1
0.667394    12.741452   0
-2.460150   6.866805    1
0.569411    9.548755    0
-0.026632   10.427743   0
0.850433    6.920334    1
1.347183    13.175500   0
1.176813    3.167020    1
-1.781871   9.097953    0
-0.566606   5.749003    1
0.931635    1.589505    1
-0.024205   6.151823    1
-0.036453   2.690988    1
-0.196949   0.444165    1
1.014459    5.754399    1
1.985298    3.230619    1
-1.693453   -0.557540   1
-0.576525   11.778922   0
-0.346811   -1.678730   1
-2.124484   2.672471    1
1.217916    9.597015    0
-0.733928   9.098687    0
-3.642001   -1.618087   1
0.315985    3.523953    1
1.416614    9.619232    0
-0.386323   3.989286    1
0.556921    8.294984    1
1.224863    11.587360   0
-1.347803   -2.406051   1
1.196604    4.951851    1
0.275221    9.543647    0
0.470575    9.332488    0
-1.889567   9.542662    0
-1.527893   12.150579   0
-1.185247   11.309318   0
-0.445678   3.297303    1
1.042222    6.105155    1
-0.618787   10.320986   0
1.152083    0.548467    1
0.828534    2.676045    1
-1.237728   10.549033   0
-0.683565   -2.166125   1
0.229456    5.921938    1
-0.959885   11.555336   0
0.492911    10.993324   0
0.184992    8.721488    0
-0.355715   10.325976   0
-0.397822   8.058397    0
0.824839    13.730343   0
1.507278    5.027866    1
0.099671    6.835839    1
-0.344008   10.717485   0
1.785928    7.718645    1
-0.918801   11.560217   0
-0.364009   4.747300    1
-0.841722   4.119083    1
0.490426    1.960539    1
-0.007194   9.075792    0
0.356107    12.447863   0
0.342578    12.281162   0
-0.810823   -1.466018   1
2.530777    6.476801    1
1.296683    11.607559   0
0.475487    12.040035   0
-0.783277   11.009725   0
0.074798    11.023650   0
-1.337472   0.468339    1
-0.102781   13.763651   0
-0.147324   2.874846    1
0.518389    9.887035    0
1.015399    7.571882    0
-1.658086   -0.027255   1
1.319944    2.171228    1
2.056216    5.019981    1
-0.851633   4.375691    1
-1.510047   6.061992    0
-1.076637   -3.181888   1
1.821096    10.283990   0
3.010150    8.401766    1
-1.099458   1.688274    1
-0.834872   -1.733869   1
-0.846637   3.849075    1
1.400102    12.628781   0
1.752842    5.468166    1
0.078557    0.059736    1
0.089392    -0.715300   1
1.825662    12.693808   0
0.197445    9.744638    0
0.126117    0.922311    1
-0.679797   1.220530    1
0.677983    2.556666    1
0.761349    10.693862   0
-2.168791   0.143632    1
1.388610    9.341997    0
0.317029    14.739025   0

         训练结果：

       (a)梯度下降算法迭代500次。(b)随机梯度下降算法迭代200次。(c)改进的随机梯度下降算法迭代20次。(d)改进的随机梯度下降算法迭代200次。

 

五、参考文献

[1] Logisticregression （逻辑回归） 概述

[2] LogisticRegression 之基础知识准备

[3] LogisticRegression