《集合论与图论》这门课程有一道作业题,要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集:若 x 在该子集中,则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目,于是把它变成了以下问题:对于任意一个正整数 n≤100000,如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数(只需输出对 1,000,000,001 取模的结果),现在这个问题就 交给你了。
《集合论与图论》这门课程有一道作业题,要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集:若 x 在该子集中,则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目,于是把它变成了以下问题:对于任意一个正整数 n≤100000,如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数(只需输出对 1,000,000,001 取模的结果),现在这个问题就 交给你了。
只有一行,其中有一个正整数 n,30%的数据满足 n≤20。
仅包含一个正整数,表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。
day2
题目分析:
一开始拿到题目的时候丝毫没有头绪,首先尝试的找规律,但是这个题好象没有什么规律,但是又无法搜索。那怎么办呢?这时,我们可以尝试分解问题,转化问题。
首先,我们可以把数字分组:
设1,2,3,4,6……为组一,设5,10,15,20……为组二,设7,14,21,28,42……为组三,以此类推。我们可以发现,不同的组的选法是相互之间没有关系的。
那么,假如我们计算出来组一的选法是P1,组二的选法是P2…我们就可以很容易的得出选法的总数为total=P1×P2×P3×……×Pn
对于所有组合并的问题解决了,现在我们要处理的问题变成了对于一个组,我们要怎么计算它的取法。
单纯观察1……,也许他们之间并没有什么内在联系,但是我们可以把它们制成一个表:
1
2 3
4 6 9
8 12 18 27
16 24 36 54 81
32 48 72 108 162 243
制成这样一个表,我们发现:
1)当你取第I行,第J个元素之前,你不能取第I-1行,第J个和第J-1个元素。
2)当你取第I行的时候,前面I-2行是不会影响你的。
知道了这些,还不够的。应为这个表其实并不是你实际用到的表,你实际用到的表可能是残缺的,比如当最大值为72的时候,你可能遇到的表是这样的:
1
2 3
4 6 9
8 12 18 27
16 24 36 54
32 48 72
所以,在你计算之前,要先给表中元素排序,在确定你要计算的元素是第几大之后,构造正确的表进行计算。
计算的方法很简单,我们可以采用类似炮兵阵地的动态规划方法。
首先进行状态压缩,然后另f[I,J]表示第I行第J种状态时的取值方法:
有了这种方法,我们就可以轻易完成这个题目。
这里还有一点小小的分析,有人可能一开始会觉得状态压缩会由于状态太多而溢出,但事实上是不可能的。我们观察第一组,它是含有元素最多的一组。
1
3 3
4 6 9
8 12 18 27
16 24 36 54 81
32 48 72 108 162 243
观察上面我用红线圈出来的部分,我们很容易发现这组第I行第一个数字是2I-1,有I个元素,由于n<=100000,所以我们知道这组所拥有的行数和每行的元素个数不会超过17个。所以用状态压缩的动态规划是不会出现问题的。
总结:
在自己想这个题目的时候遇到了很多困难,所以在解决问题后也能收获很多东西。在信息学竞赛中,我们常常会遇到那些规模庞大的问题,但是我们不应该被吓住,止步不前,相反,我们应该找更好的对策来解决,把大问题分成一个个小的问题来解决。做到大事化小,小事化了。
附录:
原题: SPOJ Problem Set
707. Triple-Free Sets
Problem code: TFSETS
A set S ofpositive integers is called strongly triple-free if, for any integerx,the sets {x, 2x} and {x, 3x} are not subsets ofS.Let's define F(n) as a number of strongly triple-free subsets of {1, 2,...,n}, where n is a natural number.
You need to write aprogram which being given a number n calculates the numberF(n)modulo 1 000 000 001.
Input
The first line of inputcontains integer T (1 ≤ T ≤ 500) - the number of testcases. Thendescriptions ofT testcases follow.
The description of thetestcase consists of one line. The line contains an integer numbern (1≤ n ≤ 100 000).
Output
For each testcase in theinput your program should output one line. This line should contain one integernumber which is the numberF(n) modulo 1 000 000 001.
Example
Input:
5
3
1
10
20
39
Output:
5
2
198
43776
971827200
代码 我是按格做的太慢了,就不贴了