数论快速入门（同余、扩展欧几里德、中国剩余定理、大素数测定和整数分解、素数三种筛法、欧拉函数以及各种模板）

数学渣渣愉快的玩了一把数论，来总结一下几种常用的算法入门，不过鶸也是刚刚入门，

 所以也只是粗略的记录下原理，贴下模板，以及入门题目（感受下模板怎么用的）

（PS:文中亮色字体都可以点进去查看百度原文）

附赠数论入门训练专题：点我打开专题（题目顺序基本正常，用以配套数论入门）

一、同余定理

简单粗暴的说就是：若 a-b == m 那么 a%m == b%m

这个模运算性质一眼看出。。。直接上入门水题：

Reduced ID Numbers

附AC代码（这个也没啥模板。。。。知道就好）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stdlib.h>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
/*
同余：
if
    a-b == m
then
    a%m == b%m

*/
const int N = 1000000;
bool vis[N+5];
int a[N+5];
bool ol[N+5];
int main()
{
    int T;cin>>T;
    while (T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        mem(vis,0);
        for (int i = 1;i <= n;++i) scanf("%d",a+i);
        for (int i = 1;i <= n;++i)
        {
            for (int j = i+1;j <= n;++j)
            {
                int d = abs(a[i]-a[j]);
                vis[d] = 1;
            }
        }
        bool fd = 0;
        for (int m = 1;!fd;++m)
        {
            if (!vis[m])
            {
                mem(ol,0);bool ok = 1;
                for (int i = 1;ok&&i <= n;++i)
                {
                    if (ol[a[i]%m]) ok = 0;
                    else ol[a[i]%m] = 1;
                }
                if (ok)
                {
                    printf("%d\n",m);
                    fd = 1;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

二、扩展欧几里德算法

这个扩展是从原欧几里德算法扩展而来，这个算法真心非常有用！非常有用！非常有用！（中国剩余定理也要用到它）

首先说欧几里德算法(其实就是我们小时候数学课上就学过的辗转相除法求gcd)

欧几里德说：gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

于是得到欧几里德算法：

int gcd(int a,int b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

该算法可以在几乎是log的时间算a,b的最大公因数gcd

PS:__gcd(a,b)库函数可以直接调用，但是有些OJ上提交会CE

现在，我们令a,b的最大公因数为gcd,那么我们一定可以找到一组x,y满足：（这个是欧几里德的定理一）

a*x + b*y = gcd;

此时，我们设x0,y0是上述不定方程的特解，那么就可以用x0,y0表示出整个不定方程的通解

x = x0 + (b/gcd)*t;
y = y0 - (a/gcd)*t;

然后是怎么求解通解x,y?

倒过去看看欧几里德算法，显然，它的结束条件是 b = 0的时候返回a

这就意味着，终止状态是 ：a = gcd ,b = 0;

将这组a,b代会不定方程ax+by=gcd,可以得到一组特解：x = 1,y = 0

找到终止状态，我们再看看递归的过程：

gcd = b*x1 + (a%b)*y1 
    = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1 // a%b = a-(a/b)*b
    = b*x1 + a*y1 - (a/b)*b*y1
    = a*y1 + b*(x1-a/b*y1)

最后得到gcd = a*y1 + b*(x1-a/b*y1)和原来的式子gcd = a*x + b*y一对比就得到:

x = y1,y = x1 - a/b*y1;

上面两个等式很重要！！（因为模板里面会直接用到，如果是直接背模板就得把它背熟）

下面就是扩展欧几里德算法：

int e_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    int ans = e_gcd(b,a%b,x,y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a/b*y;
}

这个算法本质上还是求a,b的最大公因数，只是在计算的过程中顺带计算x,y(同时体验了一把引用的神奇)

扩展欧几里德算法有什么用？反正用法很多，它可以求解形如 ax+by=c的通解

但是实际应用中通常指要求在通解中选一些特殊的解，

比如一个数对于另一个数的乘法逆元。那么什么是乘法逆元？

ax ≡ 1(mod b) // ax % b = 1

这里，我们称x是a关于b的乘法逆元

ax%b = 1,可以化成 ax = by + 1

显然，它等价于这样的表达式：ax + by = 1             

这个式子很眼熟有木有！！！如果等式右边是gcd(a,b)就好了！！！

然后这里copy欧几里德的三个定理：

定理一:如果d = gcd(a,b),则必能找到正的或负的整数x和y使d = ax + by 
定理二:若gcd(a,b) = 1,则方程ax≡c(mod b)在[0,b-1]上有唯一解
定理三:若gcd(a,b) = d,则方程ax≡c(mod b)在[0,b|d01]上有唯一解

于是，对上述方程 ax + by = 1, 当gcd(a,b) != 1的时候无解

故方程ax + by = c 有解的条件是 ： c%gcd(a,b) = 0;

按乘法逆元讲，一般，我们能找到无数组解满足条件，但一般题目是求解最小的那组解

假设我们求出了特解x0,那么 ，只需要用x0 % b就是最小解了

为什么？（这个我没管，反正知道是这个。。。。后面贴的参考资料链接里面有。。。）

另外，有的时候求得的特解可能是个负数，或者说b是负数，怎么办？

如果b是负数，取b的绝对值

如果x0是负数，让x0对|b|取模后再加上|b|

然后，直接上模板代码：

int Cal(int a,int b)//求最小的x使ax+ by = 1
{
    int x,y;
    int gcd = e_gcd(a,b,x,y);
    if (1%gcd) return -1;//无解
    x*=1/gcd;
    b = abs(b);
    int ans = x%b;
    if (ans <= 0) ans += b;
    return ans;
}

下面给出求最小逆元的代码：

typedef long long ll;
ll e_gcd (ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll ans = e_gcd (b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x; //这个和前面用的方法不一样，不过是对的，写起来更快、
    return ans;
}
ll Cal(ll a,ll b,ll c)//求最小的x使ax+ by = c
{
    ll x,y;
    ll gcd = e_gcd(a,b,x,y);
    if (c%gcd) return -1;//无解
    x*=c/gcd;
    b /= gcd;
    if (b < 0) b = -b;
    ll ans = x%b;
    if (ans <= 0) ans += b;
    return ans;
}

来一道入门级的裸的扩展欧几里德的题感受下模板怎么用：

PS:方程还是要自己列，然后用扩展欧几里德求解

青蛙的约会

AC代码供参考：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
ll e_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    ll ans = e_gcd(b,a%b,x,y);
    ll tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a/b*y;
    return ans;
}
ll cal(ll a,ll b,ll c)//求最小的x使ax+by=c
{
    ll x,y;
    ll gcd = e_gcd(a,b,x,y);
    if (c%gcd != 0) return -1;
    x *= c/gcd;
    b/=gcd;
    if (b < 0) b = -b;
    ll ans = x%b;
    if (ans <= 0) ans += b;
    return ans;
}
int main()
{
    ll xa,xb,va,vb,L;
    while (~scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&xa,&xb,&va,&vb,&L))
    {
        ll ans = cal(vb-va,L,xa-xb);
        if (ans == -1) puts("Impossible");
        else printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

三、中国剩余定理

基本看到一个算法都是用外国人的名字命名，而中国剩余定理又称孙子定理，没错，就是中国的孙子！（这话怎么怪怪的(⊙o⊙)......）

《孙子算经》里面好像有个求同余方程组的问题，不过古文就不看了。

用现代数学的语言来说，中国剩余定理给出了以下一元线性同余方程组：

    x ≡ a1 (mod m1)    x%m1 = a1     
    x ≡ a2 (mod m2)    x%m2 = a2
(S):x ≡ a3 (mod m3) -> x%m3 = a3
    ...                ...
    x ≡ an (mod mn)    x%mn = an

有解的判定条件，并用 构造法给出了在有解的情况下解的具体形式

中国剩余定理说明：假设 整数 m 1 , m 2 , ... , m n 两两互质 ，则对任意的整数： a 1 , a 2 , ... , a n ，方程组（S） 有解，并且通解可以用如下方式构造得到：

设

 M = m1*m2*m3......*mn = ∏mi(i从1-n)

是整数 m 1, m 2, ... , m n的乘积，并设

 Mi = M/mi(i从1到n) 

是除了 m i以外的 n- 1个整数的乘积。

设

 ti = Mi^-1

为

 Mi

模

 mi

的数论倒数

 ti*Mi ≡1（mod mi）(i从1到n) 

：

方程组

 （S）

的通解形式为

 x = a1t1M1 + a2t2M2 + ... + antnMn + kM = kM + ∑aitiMi,(i = 1,2,3,...,n,k ∈ Z) 

：在模

 M 

的意义下，方程组

 (S) 

只有一个解：

 x = ∑aitiMi,(i = 1,2,3,...,n)

人生苦短，暂不证明（其实鶸不会证明。。。）

直接上模板代码：

typedef long long ll;
ll e_gcd (ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll ans = e_gcd (b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x; //这个和前面用的方法不一样，不过是对的，写起来更快、
    return ans;
}
ll CR(int a[],int m[],int n)
{
    ll M = 1;
    for (int i = 1;i <= n;++i) M*=m[i];
    ll ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;++i)
    {
        ll Mi = M/m[i];ll x,y;
        ll t = e_gcd(m[i],Mi,x,y);
        ans = (ans + y*Mi*a[i])%M;
    }
    return (M+ans%M)%M;
}

=-=这个是我最初的模板，当然他非常渣，在经历了WA无数之后，模板得到了很好的改进，

就不直接贴了，直接上入门题目和AC代码（AC代码用的改进版模板=-=）

题目： Hello Kiki 

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
ll e_gcd (ll a, ll b, ll& x, ll& y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll ans = e_gcd (b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return ans;
}
ll CR (int a[], int m[], int n)
{
    ll Mi = m[1], ans = a[1];
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        ll mi = m[i], ai = a[i];
        ll x, y;
        ll gcd = e_gcd (Mi, mi, x, y);
        ll c = ai - ans;
        if (c % gcd != 0) return -1;
        ll M = mi / gcd;
        ans += Mi * ( ( (c /gcd*x) % M + M) % M);
        Mi *= M;
    }
    if (ans == 0) //当余数都为0
    {
        ans = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            ans = ans*m[i]/__gcd(ans,(ll)m[i]);
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int T;cin>>T;int kas = 0;
    while (T--)
    {
        int n,a[100],m[100];
        scanf("%d",&n);
        for (int i = 1;i <= n;++i) scanf("%d",m+i);
        for (int i = 1;i <= n;++i) scanf("%d",a+i);
        printf("Case %d: %lld\n",++kas,CR(a,m,n));
    }
    return 0;
}

不爽再来一题？ Biorhythms

这题要想清楚同余方程组怎么用的，本鶸开始没想清楚直接套模板使劲WA。。。

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stdlib.h>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
ll e_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    ll ans = e_gcd(b,a%b,y,x);
    y -= a/b*x;
    return ans;
}
ll CR(int a[],int m[],int n)
{
    ll M = 1;
    for (int i = 1;i <= n;++i) M*=m[i];
    ll ans = 0;
    for (int i = 1;i <= n;++i)
    {
        ll Mi = M/m[i]; ll x,y;
        ll t = e_gcd(m[i],Mi,x,y);
        ans = (ans+y*Mi*a[i])%M;
    }
    ans = (M+ans%M)%M;
    if (ans == 0) //当余数都为0
    {
        ans = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            ans = ans*m[i]/__gcd(ans,(ll)m[i]);
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int a[4];
    int m[4] = {0,23,28,33};int d;int kas = 0;
    while (~scanf("%d %d %d %d",a+1,a+2,a+3,&d))
    {
        if (a[1]==-1&&a[2]==-1&&a[3]==-1&&d==-1) break;
        for (int i = 1;i <= 3;++i)
        {
            a[i] = a[i] - d;
            while (a[i]<0) a[i]+=m[i];
        }
        ll ans = CR(a,m,3);
        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %lld days.\n",++kas,ans);
    }
    return 0;
}

四、素数筛法

很多数学题里面都有用到，主要就是卡超时的问题。

不多说，直接上三种模板：

素数筛法一：（最简单的）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define inf (1<<29)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100;
bool p[N+5];
void init()
{
    mem(p,1);
    for (int i = 2;i*i <= N;++i)
    {
        if (p[i])
        {
            for (int j = i*i;j <= N;j+=i)
            {
                p[j] = 0;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    for (int i = 2;i <= N;++i)
    {
        if (p[i]) cout<<i<<endl;
    }
    return 0;
}

素数筛法二：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define inf (1<<29)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100;
int p[N+5];
void init()
{
    int sq = (int)sqrt(N*2+1);
    for (int i = 3;i <= sq;i+=2)
    {
        if (p[i>>1]) continue;
        for (int j = i*i;j <= N<<1;j+=i<<1)
        {
            p[j>>1] = 1;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    puts("2");
    for (int i = 1;i < N;++i)
    {
        if (p[i]) continue;
        printf("%d\n",(i<<1)+1);
    }
    return 0;
}

素数筛法三：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define inf (1<<29)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 100000;
int a[N+5];
int p[N+5];
void init()
{
    int t = 0;
    for (int i = 2;i <= N;++i)
    {
        if (a[i] == 0)
        {
            p[++t] = i;
        }
        for (int j = 1,k;(j<=t)&&(k=i*p[j])<=N;++j)
        {
            a[k] = 1;
            if (i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    for (int i = 1;p[i]>1;++i)
    {
        printf("%d\n",p[i]);
    }
    return 0;
}

本来素数筛完应该直接上欧拉函数，不过觉得大素数测定蛮好玩的，于是插一句大素数测定与整数分解

五、大素数测定与整数分解：

上面的素数筛法很常用，但是如果问你一个很大的数n（n < 2^63）是不是素数，怎么办？

于是引入了 Miller Rabin算法

该算法是一种基于概率的素数测试算法，特点是速度快，能判断<2^63的数是不是素数

虽然是基于概率，但是其实该算法还是蛮可靠的，首先是可以通过增加测试次数提高测试的正确率

另外，我自己玩的时候，将测试次数调为1，一直测，没有出现判断错误的情况（可能我人品太好(⊙o⊙)？）

原理大致看了下，表示不是很懂，直接上代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#include<time.h>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int S = 8;//测试次数
ll mult_mod (ll a,ll b, ll c)
{
    a%=c,b%=c;
    ll ret = 0;
    ll tmp = a;
    while (b)
    {
        if (b&1)
        {
            ret += tmp;
            if (ret > c) ret -= c;
        }
        tmp<<=1;
        if (tmp>c) tmp-=c;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod)
{
    ll ret = 1;
    ll temp = a%mod;
    while (n)
    {
        if (n&1) ret = mult_mod(ret,temp,mod);
        temp = mult_mod(temp,temp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
    ll ret = pow_mod(a,x,n);
    ll last = ret;
    for (int i = 1;i <= t;++i)
    {
        ret = mult_mod(ret,ret,n);
        if (ret == 1&&last!=1&&last!=n-1) return 1;
        last = ret;
    }
    if (ret != 1) return 1;
    else return 0;
}
bool MR(ll n)
{
    if(n < 2) return 0;
    if (n == 2) return 1;
    if ((n&1)==0) return 0;
    ll x = n - 1;
    ll t = 0;
    while ((x&1)==0)
    {
        x>>=1;++t;
    }
    srand(time(NULL));
    for (int i = 0;i < S;++i)//做S次测试
    {
        ll a = rand()%(n-1) + 1;
        if (check(a,n,x,t)) return 0;//只要其中有一次判定是合数就可以确定一定是合数
    }
    return 1;
}
int main()
{
    ll n;
    while (cin>>n)
    {
        if (MR(n)) puts("YES");
        else puts("NO");
    }
    return 0;
}

水题： Prime Test

这个直接裸模板，就不贴AC代码了

题外话：表示上面算法蛮好玩，于是某次比赛用该算法打素数表，然后就。。。。。呵呵。。。。。所以觉得这个算法主要就是针对很大的数的素数判断的，如果没有这个条件，请贪玩的童鞋不要在比赛随意使用。。。。。。。。

然后整数分解用的是Pollard rho算法,具体原理我也没懂，反正就是可以求2^63以内的数分解成素因子

模板是直接copy的kuangbin的模板（蛮长的。。。。）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;


//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S=20;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小
//计算 (a*b)%c.   a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的
//  a,b,c <2^63
long long mult_mod(long long a,long long b,long long c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    long long ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1){ret+=a;ret%=c;}
        a<<=1;
        if(a>=c)a%=c;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
//计算  x^n %c
long long pow_mod(long long x,long long n,long long mod)//x^n%c
{
    if(n==1)return x%mod;
    x%=mod;
    long long tmp=x;
    long long ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
        tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}

//以a为基,n-1=x*2^t      a^(n-1)=1(mod n)  验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
    long long ret=pow_mod(a,x,n);
    long long last=ret;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        ret=mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数
        last=ret;
    }
    if(ret!=1) return true;
    return false;
}

// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;

bool Miller_Rabin(long long n)
{
    if(n<2)return false;
    if(n==2)return true;
    if((n&1)==0) return false;//偶数
    long long x=n-1;
    long long t=0;
    while((x&1)==0){x>>=1;t++;}
    for(int i=0;i<S;i++)
    {
        long long a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件
        if(check(a,n,x,t))
            return false;//合数
    }
    return true;
}


//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
long long factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始

long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(a==0)return 1;//???????
    if(a<0) return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        long long t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

long long Pollard_rho(long long x,long long c)
{
    long long i=1,k=2;
    long long x0=rand()%x;
    long long y=x0;
    while(1)
    {
        i++;
        x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        long long d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1&&d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k){y=x0;k+=k;}
    }
}
//对n进行素因子分解
void findfac(long long n)
{
    if(Miller_Rabin(n))//素数
    {
        factor[tol++]=n;
        return;
    }
    long long p=n;
    while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
    findfac(p);
    findfac(n/p);
}

int main()
{
    //srand(time(NULL));//需要time.h头文件//POJ上G++不能加这句话
    long long n;
    while(scanf("%I64d",&n)!=EOF)
    {
        tol=0;
        findfac(n);
        for(int i=0;i<tol;i++)printf("%I64d ",factor[i]);
        printf("\n");
        if(Miller_Rabin(n))printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
    return 0;
}

整数分解也有个题： GCD & LCM Inverse（用dfs去找答案）

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<cctype>
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const int S = 20;
ll mult_mod (ll a, ll b, ll c)
{
    a %= c, b %= c;
    ll ret = 0;
    ll tmp = a;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            ret += tmp;
            if (ret > c) ret -= c;
        }
        tmp <<= 1;
        if (tmp > c) tmp -= c;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
ll pow_mod (ll a, ll n, ll mod)
{
    ll ret = 1;
    ll temp = a % mod;
    while (n)
    {
        if (n & 1) ret = mult_mod (ret, temp, mod);
        temp = mult_mod (temp, temp, mod);
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}
bool check (ll a, ll n, ll x, ll t)
{
    ll ret = pow_mod (a, x, n);
    ll last = ret;
    for (int i = 1; i <= t; ++i)
    {
        ret = mult_mod (ret, ret, n);
        if (ret == 1 && last != 1 && last != n - 1) return 1;
        last = ret;
    }
    if (ret != 1) return 1;
    else return 0;
}
bool MR (ll n)
{
    if (n < 2) return 0;
    if (n == 2) return 1;
    if ( (n & 1) == 0) return 0;
    ll x = n - 1;
    ll t = 0;
    while ( (x & 1) == 0)
    {
        x >>= 1;
        ++t;
    }
//    srand(time(NULL));
    for (int i = 0; i < S; ++i) //做S次测试
    {
        ll a = rand() % (n - 1) + 1;
        if (check (a, n, x, t) ) return 0; //只要其中有一次判定是合数就可以确定一定是合数
    }
    return 1;
}
ll fac[11111];//质因数分解结果(刚返回时时无序的)
int tot;//质因数的个数，数组下标从0开始
ll gcd (ll a, ll b)
{
    if (a == 0) return 1;
    if (a < 0) return gcd (-a, b);
    while (b)
    {
        ll t = a % b;
        a = b, b = t;
    }
    return a;
}
ll PR (ll x, ll c)
{
    ll i = 1, k = 2;
    ll x0 = rand() % x;
    ll y = x0;
    while (1) //美丽的循环，不会死
    {
        ++i;
        x0 = (mult_mod (x0, x0, x) + c) % x;
        ll d = gcd (y - x0, x);
        if (d != 1 && d != x) return d;
        if (y == x0) return x;
        if (i == k)
        {
            y = x0;
            k += k;
        }
    }
}
void findfac (ll n) //对n进行素因子分解
{
    if (MR (n) ) //如果n是素数
    {
        fac[tot++] = n;
        return;
    }
    ll p = n;
    while (p >= n) p = PR (p, rand() % (n - 1) + 1);
    findfac (p);
    findfac (n / p);
}
ll x[111];
ll k;
ll a, b, mn;
ll ans;
ll g, lcm;
const ll inf = 1LL << 62LL;
bool fd;
void dfs (ll cur, ll p)
{
    ll q = ans / p;
    if (gcd (p, q) == 1)
    {
        fd = 1;
        ll tmp = p * g + q * g;
        if (mn > tmp)
        {
            mn = tmp;
            a = p*g;
            b = q*g;
        }
    }
    if (cur > k) return;
    dfs(cur+1,p);p*=x[cur];
    if (p > mn ) return ;
    dfs(cur+1,p);
}
int main()
{
    while (~scanf ("%llu %llu", &g, &lcm) )
    {
        if (g == lcm)
        {
            printf("%llu %llu\n",g,lcm);
            continue;
        }
        ans = lcm / g;
        tot = 0;
//        cout << ans << endl;
        findfac (ans);
        sort (fac, fac + tot); //fac保存的是ans的素因子，比如3 60对应的fac数组是2 2 5
//        for (int i = 0; i < tot; ++i) cout << fac[i] << " ";
//        cout << "---------------------------------------------------" << endl;
        k = 0;
        x[0] = fac[0];
        for (int i = 1; i < tot; ++i)
        {
            if (fac[i] == fac[i - 1]) x[k] *= fac[i];
            else x[++k] = fac[i];
        }
        sort (x, x + k + 1); //x保存的是所有不相同的素因子，比如3 60 对应的x数组是4 5
//        for (int i = 0; i <= k; ++i) cout << x[i] << " ";
//        cout << endl;
        //用dfs将数组x分成2部分p*q,满足p,q互质,找到所有p,q中使a+b最小的情况，其中a = p*lcm,b = q*lcm
        //比如3 60 ans = 20 4 5 ,a = 4*3 b = 5*3
        mn = inf;
        fd = 0;
        dfs (0, 1);
        if (a > b) swap (a, b);
//        if (!fd) puts ("???");
        printf ("%llu %llu\n", a, b);
    }
    return 0;
}
/*
7 635040

*/

六、 欧拉函数

定义：

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目。

此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler'so totient function)，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。

 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 

通式：

 φ(x) = x(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)(1 - 1/p3) ...(1 - 1/pn)

,其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1 互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

若n是质数p的k次幂，

 φ(n) = p^k - p^(k-1) = (p-1)p^(k-1)

，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互

素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数

φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。

欧拉函数是 积性函数 ——若m,n互质，

 φ(mn) = φ(m)φ(n);

特殊性质：当n为奇数时，

 φ(2n) = φ(n); 

, 证明与上述类似。

若n为质数则

 φ(n) = n - 1;

数学渣渣，再次直接上模板：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 1e5;

int isprime[MAXN];
int prime[MAXN];
int cnt;
void getP()
{
    cnt = 0;
    for(int i = 1; i < MAXN; i++)
        isprime[i] = 1;
    for(int i = 2; i < MAXN; i++)
    {
        if(!isprime[i])continue;
        prime[cnt++] = i;
        for(int j = 2 * i; j < MAXN; j += i)
        {
            isprime[j] = 0;
        }
    }
}

int euler( int n )  //求小于n且与n互质的数的个数
{
    int ans = n;

    for(int i = 0; prime[i] * prime[i] <= n; i++)
    {
        if(n%prime[i] == 0)
        {
            ans = ans - ans / prime[i]; //ans=ans*(1-1/pi)
            while(n%prime[i] == 0)
            {
                n /= prime[i];
            }
        }
    }
    if(n > 1)  ans = ans - ans / n;
    return ans;
}
int main()
{
    getP();
    int n;
    while(cin >> n&&n)
    {
        cout << euler( n ) << endl;
    }
    return 0;
}

七、其他

入门就先到这里，虽然基本都是套模板，但是还是要把模板运用熟练，

接下来就是多做些题，多体会各种模板在各种题目中的灵活运用，

可能很多现在不是很懂的地方等做的题多了，自然而然懂了，加油↖(^ω^)↗~~~

错误的地方望指出~~~

参考资料：

1.各种百度百科，阅读过程点击亮色字跳转

2.神牛博客若干，主要是： http://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595