最长上升子序列 (Longest Increasing Subsequence, 常简称为 LIS) 是动态规划解决的一个经典问题。
我们先讲一下子序列是什么。一个数组的子序列就是从里面选出一些元素,并将他们保持原有的先后顺序排列。比如[1, 2, 3, 4, 5]
的子序列有[1, 3, 5]
、[3, 4]
,而[1, 5, 3]
则不是这个数组的子序列。
这里多介绍一下,还有一个容易与子序列混淆的概念:子串。子串是指从一个数组中选出连续的一个或多个元素,并且保持他们原有的顺序。子串一定是子序列,比如前面的子序列[3, 4]
就是子串,但[1, 3, 5]
不是子串,因为这三个元素在原数组中并不是连续的。
一句话总结他们的区别,就是子序列可以不连续,而子串必须连续。
上升子序列是指子序列Ai中满足 A1 < A2 < ... < An,也就是后面的元素一定比前面的元素大,比如(1, 3, 5)是上升子序列,(1, 3, 3)和(1, 4, 3)都不是。现在来跟我一起解决最长上升子序列的问题吧!(o・・o)/
输入格式:
第一行一个整数n(1 ≤ n ≤ 100),表示序列的长度。
第二行 n 个整数,表示序列中的每个元素。
输出格式:
输出只有一行,为最长上升子序列的长度。
样例输入:
2
1 5 2 3 4
样例输出:
1
4
还记得上一道数塔问题我们怎么解决的么?我们首先要把问题拆分成很多子问题。对于这道题来说,我们分解为这样的N个子问题:求解最后一个元素为原数组中第 i (1 ≤ i ≤ n)个元素的最长上升子序列的长度。
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; int n, dp[101], num[101], result = 0; int main() { scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; ++i) { scanf("%d", &num[i]); } // begin: 在下面实现动态规划的核心代码 for(int i=1; i<=n; ++i){ dp[i] = 1; for(int j = 1; j < i; ++j){ if(num[j] < num[i]) { dp[i] = max(dp[j] + 1 , dp[i]); } } result = max(result, dp[i]); } // end. printf("%d\n", result); return 0; }