辗转相除法（欧几里德算法）

这个算法可以用来求解两个非负整数 $a,b$ 的最大公因数 $\gcd \left(a,b\right)$。算法的步骤如下：

1. 若 $b=0$，则最大公因数是 $a$；
2. 否则，最大公因数是 \gcd\left({b,a-b\left\lfloor{\frac{a}{b}}\right\rfloor}\right)gcd(b,a−b⌊​b​​a​​⌋)。

这个算法用自己定义了自己，也就是 递归 的。

这个算法的最早出现在《原本》（欧几里得著）中，用于求解两条线段的“最大共度”，因此也叫做“欧几里德算法”。这个算法也出现在《九章算术》中，叫做“更相减损术”。从细节上看，“更相减损术”有一个预判两个数是否都是偶数的过程，不过“更相减损”的过程和这个算法是一致的。证明辗转相除法可以停下，我们构造一个辅助函数 

$f\left(a,b\right)=a+2b$。对于非负整数 $a,b$，$f\left(a,b\right)$ 也是一个非负整数。

下面我们用所谓的 递降法 证明算法将会停下。

如果算法选择了步骤 1（$b=0$），则算法已经停止；否则，算法将选择步骤 2（将 $a,b$ 替换为 b,a-b\left\lfloor{\frac{a}{b}}\right\rfloorb,a−b⌊​b​​a​​⌋），那么有

\begin{array}{rcl}f\left({b,a-b\left\lfloor{\frac{a}{b}}\right\rfloor}\right)-f\left({a,b}\right)&=&a-b-2b\left\lfloor{\frac{a}{b}}\right\rfloor\\\\&\leq&a-b-b\left\lfloor{\frac{a}{b}}\right\rfloor\\\\&<&a-b-b\left({\frac{a}{b}-1}\right)\ =\ 0.\end{array}​f(b,a−b⌊​b​​a​​⌋)−f(a,b)​​​​​​​=​≤​<​​​a−b−2b⌊​b​​a​​⌋​a−b−b⌊​b​​a​​⌋​a−b−b(​b​​a​​−1) = 0.​​

这说明，只要算法不结束，$f$ 的值在严格下降，但是起初 $f=a+2b$ 是一个有限的数，因此不可能无限下降下去。因此，算法在某个时刻会停下。我们知道这个算法可以停下来了，那么，算法给出的数是否是正确的呢？当然是，下面我们就会证明这件事情。

命题 $\forall k\in \mathbb{Z},\gcd \left(a,b\right)=\gcd \left(b,a-kb\right).$

证明 设 $x=\gcd \left(a,b\right)$，则 $x|a,x|b$，从而 $x|b,x|a-kb$，于是我们有

$\gcd \left(a,b\right)=x\le \gcd \left(b,a-kb\right).$

同理， $\gcd \left(a-kb,b\right)\le \gcd \left(b,a-kb-\left(-k\right)b\right).$

再利用 $\gcd$ 的对称性，有 $\gcd \left(a-kb,b\right)=\gcd \left(b,a-kb\right)$ 和 $\gcd \left(b,a-kb-\left(-k\right)b\right)=\gcd \left(a,b\right)$，于是命题得证。

现在只要取 k=\left\lfloor{\frac{a}{b}}\right\rfloork=⌊ba⌋ 就证明了辗转相除法的 输出的正确性。

至此，我们已经完整地证明了辗转相除法的 正确性，它包括辗转相除法的 可终结性 和它的 输出的正确性。下一节，你将使用 第二归纳法 重新证明辗转相除法的 可终结性，别担心，核心思路是一样的，只是换一种叙述方式