第二章 A 3D/Math Primer

第二章 A 3D/Math Primer

本章介绍3D图形学的数学知识。借用一句Douglas Adams的名言，“别慌张”。我们会讲述vectors（向量），Matrix（矩阵），coordinate systems（坐标系统），transformations（变换），以及DirectXMath数学库。即使你已经很熟悉线性代数的知识，我也希望你能审核一下DirectX相关的内容。否则，做个深呼吸，坚持学习下去。

Vectors

你可能还记得高中物理课上学习的标量和向量的定义。标量是一个表示大小的量；向量是描述大小和方向的量。在3D图形学中Vectors有多种形式，可以表示速度，力量，方向或者简单的三维空间坐标点。

在几何数学中，可以把vector看作一个箭头；vector的长度即为大小，线段的指向即为vector的方向。在这种定义下，vector的尾部没有固定的位置。因此，判断两个vector相等只要比较他们的长度和方向是否都相等。但是，如果把vector的起点固定在坐标系统的原点，那么vector就可以表示成坐标系统中的一个点，该点指定了vector对应坐标轴的尺寸。在3D空间中，使用x，y，z坐标轴表示一个vector。比如点（2，5，8）表示一个距离原点对应于x轴偏移2个单位，y轴偏移5个单位，z轴偏移8个单位的vector。图2.1解释了2D中的情况。

图2.1 向量的表示。

Left-Handed and Right-Handed Coordinate Systems

图2.1显示了一个二维笛卡尔坐标系统（Cartesian coordinate system），x轴指向水平方向，y轴指向垂直方向，分别以向右和向上为正向。在三维空间中，z轴与x轴和y轴相互正交（垂直），根据左手或右手坐标系以指向屏幕里面或屏幕外面作为正向。在左手坐标系中，z轴朝向屏幕里面为正向，而在右手坐标系中朝向屏幕外面为正向。如何判断左右手坐标系有一个非常好的记忆方法，在你的眼前握住右手，保持拇指指向x轴的正向，食指指向y轴的正向，中指的指向即为z轴的正向也即朝向屏幕外面；左手刚好相反。图2.2描述了这两种坐标系。

图2.2 A mnemonic for 3D coordinate system hadedness。

Base Vector Operations

向量的加法和减法是两个向量各个部分都进行加减法，也就是两个向量中的各个元素对应的进行运算。例如，有两个向量a = （ax，ay，az）和b = （bx，by，bz），执行加法或减法产生向量c，依据表2.1执行这些操作。

表2.1 Basic Vector Operations

同理，乘法和除法是一个标量和一个向量的各个元素执行乘除法。下面是一个标量和向量相乘的例子：

4 * a = （4ax，4ay，4az）

Vector Length

vector的长度（或者大小）使用Pythagorean Theorem（勾股定理）进行计算。具体的使用以下公式（对于一个3维vector）：

长度为1的vector称为unit vector（单位向量）。在只需要vector的方向而不用长度的情况下，unit vector是非常有用的。把一个vector的长度转变成1称为向量的标准化；标准化是通过把vector除以它的大小实现的。公式形式如下：

Dot Product（点积）

两个vectors的dot product是向量各个部分元素乘积的和。公式为：

a•b=(ax *bx)+(ay *by)+(az *bz)

这产生一个标量值，因些dot product也称为scalar product（或者inner product）。根据向量长度的定义，可以使用向量与其自身的点积的平方根来计算向量的长度。

在几何数学中，点积表示了两个向量之间的角度。公式为：

a • b = ||a||*||b|| * cos(θ)

θ即为向量a和b的夹角。如果向量a和b都已经标准化，点积可以简化为：

a • b = cos(θ)

根据这个公式，可以总结如下几点：

如果a • b  > 0，两个向量的夹角小于90度。

如果a • b  < 0，两个向量的夹角大于90度。

如果a • b  = 0，两个向量相互垂直。

在后面的章节中，你会发现点积在计算机图形学中有多种多样的应用。比如，在光照计算中可以用点积来计算照射表面和光源之间的角度。在第二部分，“Shader Authoring with HLSL”将会详细讲解。

Cross Product（叉积）

Cross Product是另一个非常有用的向量运算。两个向量的叉积得到一个与这两个向量都正交的第三个向量。叉积的公式为：
a × b = (ay * bz – az * by, az * bx – ax * bz, ax * by – ay * bx)
叉积可以用于计算一个triangle的法向量（也就是triangle的朝向）。

Matrix

一个m×n矩阵是一个m行，n列的二维数组。比如一个4×1矩阵，有4行1列，一个2×3矩阵有两行3列，如下所示：

在矩阵C中，指出了矩阵中每个元素对应的下标。只有一个单一的行或列的矩阵有时被称为行向量和列向量。具有相同行数和列数的矩阵称为方阵。在3D图形学中，4×4方阵应用最广泛。

Basic Matrix Operations

你可以使用矩阵执行一些基本的算术运算。在向量中，是对两个向量的逐个元素执行加减法。因些两个矩阵必要具有相同的行数和列数才可以做加减法。标量乘法同样是进行逐个元素运算，把标量与矩阵中的每个元素相乘。但是，矩阵的乘法却有点不一样。

Matrix Multiplication

对于矩阵乘法，一个具有n列的矩阵只能和一个具有n行的矩阵相乘。在所得到的矩阵中，每一个元素都是第一个矩阵的行与第二个矩阵对应的列进行dot product计算出来的。如下公式所示，如果把矩阵A的每一行作为行向量，矩阵B的每一列作为列向量，可以定义乘积矩阵元素为：

图2.3 illustrates this process。

图2.3 Matrix multiplication。

如下所示：

矩阵A是一个两行3列的矩阵，矩阵B一个3行两列的矩阵。矩阵B的行数与A的列数相同，因此可以进行矩阵乘法。相乘的结果一个2×3矩阵，计算如下：

需要注意的是矩阵乘法是不满足交换律（不能交换相乘，也无法得到相同的乘积）。事实，一般情况下定义矩阵乘法A * B，对于B * A的情况是没有定义的，比如一个3×3矩阵乘以一个2×3矩阵。

Transposition

矩阵的转置是通过把矩阵的元素依据主对角线反转得到的。对于一个方阵是很容易理解的，如下示例所述：

另外一种转置矩阵的方法是交换矩阵的行和列。这种很容易理解，特别是对于行向量和列向量，或者非方阵。例如：

Row-Major and Column-Major Order

处理矩阵时，必须考虑如何在计算机内存中存储矩阵。Direct3D以行优先的顺序存储矩阵，也就是说如果存储到一段连接内存中，是以一行一行的方式排列在内存中。这也是C语言中多维数组的存储格式。如下示例，是一个2×3矩阵以行优先顺序连接存储的形式：

相反，同样的矩阵以列优先顺序存储在内存中的形式为：
Column − Major: 1 4 2 5 3 6
把一个行优先矩阵转成一个列优先矩阵涉及矩阵的转置（反之亦然）。如何存储矩阵会带来性能上的影响，而且不同的存储方法依赖于特定的顺序。将在第4章，“Hello，Shaders！”再讨论。

The Identity Matrix

单位矩阵是一个特殊的方阵，除了主对角线元素都是1之外，其他的元素都为0。例如一个4×4的单个矩阵定义为：

相对矩阵乘法来说，单位矩阵就是数字1。换句话说，把一个矩阵与单位矩阵相乘结果该矩阵本身。

Transformations

前面已经讲过，vectors描述了3D空间中的方向和位置。比如，3D triangles中vertices的坐标位置就是用vectors存储的，两样法向量也是。但是在图形应用程序中vectors并不会一直保持不变。你的3D objects可能会在一个场景里移动，伸展，收缩，转动。专业的描述，位移称为translation（平移），伸展，收缩称为scaling（缩放），转动称为rotation（旋转）。这些操作统称为transformations（变换）。此外，想要把objects显示到屏幕上，需要经过多个参考坐标系的变换。矩阵将会用于把vectors的位置和方向从一个坐标系变换到另一个坐标系，同样用于translation，scaling和rotation。

Homogeneous Coordinates（齐次坐标）

在深入学习矩阵变换之前，需要特别注意的是我们将会使用齐次坐标。这种坐标系支持把translation，scaling，rotation操作合并到一个4×4矩阵。矩阵乘法满足结合律，因此可以把所有这些变换用一个4×4矩阵表示。在齐次坐标系中，每个坐标点有四个部分，分别为x，y，z，w。xyz坐标就是普通的3D坐标，坐标表示一个点的时候w为1，表示为方向的时候w为0。正如你所知道的，w = 0使得方向向量不能进行translation操作，这是非常有用的，因为单纯的方向向量在3D空间中是没有指明位置的。

Scaling

向量变换即执行向量-矩阵乘法，也就是一个矩阵乘以一个行向量或列向量。比如，3D缩放矩阵定义为：

主对角线上的数值表示对应于x，y，z轴的缩放因子。如果这些数据都相等，向量会等比例缩放。单位矩阵与此相似，相当于主对角线上数值都为1的缩放矩阵。
如下示例，使用一个非等比例的缩放矩阵变换一个点向量。点A的坐标为（-4，2，6，1）。其中第4列（w分量为1）是必须的，因为缩放矩阵有4列。

Translation

Translation主要是沿着x，y，z轴移动object。平移矩阵定义如下：

以下示例描述了，一个点向量沿着x轴正向平移10个单位，沿y轴正向平移5个单位，没z的负向平移6个单位。如果向量的w分量为0（此时表示一个方向向量），那么平移变换没有任何效果。

Rotation

Rotation更复杂一点，因为每个坐标轴都对应一个不同的旋转矩阵。

以下示例描述了，把点（1，0，0）绕z轴逆时针方向旋转90度（π/2弧度）。

Matrix Concatenation（矩阵串联）

可以把多种变换矩阵串连成单个变换矩阵，而不是单独应用每一种变换。比如，缩放，旋转，平移矩阵可以组合成：
W = S * R * T
通过把缩放，旋转，平移串连成一个矩阵可以只需一步完成点向量变换。但是串连的顺序非常重要。矩阵串连是从左到右进行相乘，而且是不可交换的。例如，要渲染地球环绕太阳运行，地球相对太阳平移，还要绕着太阳旋转，那么串连矩阵也要按这种顺序执行。然而，如果还要模拟地球自转，那么在执行“公转”变换前要先执行自转的旋转操作。在这种情景下，完整的矩阵串连会是这样：
W = Raxial * T * Rorbit
只要明确从左到右要执行变换的顺序，那么可以串连任意数量的单个变换。

Changing Coordinates Systems

变换矩阵除了用于scaling，translation，rotation外，还可以用于把一个向量从一个坐标系转移到另一个坐标系。

Object Space and World Space

通常可以使用Autodesk Maya或者3D Studio Max等建模软件创建3D模型。模型本身所处的坐标系称为object space（或model space）。你的场景里可能包含成百上千个独立的模型，但是这些模型很少会作为一个整体去创建。而是分别存储在一个单独的文件中，而且它们的vertices只与模型的原点有关，与别的3D模型都没有关联。为了使用这些模型进行交互，必须共用一个通用的坐标系，也就是必须处于同一个世界中。因此，必须把这些模型从object space变换到world space。

World transformation matrix（世界坐标变换矩阵）由scale，translation，和rotation三个矩阵串联而成。只需要把3D模型的每个vertex与world matrix相乘就可以得到模型所处的world space。

View Space

World space之后，object就变换到view space（或者camera space），这是一个相对于虚拟camera的坐标系。Camera的属性中定义了一个确定哪些object可见的空间体。这个空间体也被称为view frustum（视域体），如图2.4。View matrix用于把vectors从世界空间变换到视图空间，该矩阵由camera的位置（世界空间中），camera的朝向向量，以及一个表示朝向向上的向量组合计算得出的。在第三部分，“Rendering with DirectX”，将会讲角使用DirectX API创建view matrix。

图2.4 An illustration of the view frustum specified by the properties of a virtual camera.

Projection Space

Object space，world space和view space都是三维坐标系。但是，计算机屏幕却是二维的，projection matrix就是把3D几何图形投影到2D显示。在这个阶段，就可以描述深度的概念了，比如与屏幕越近的object比那些距屏幕较远的object看起来要大。这就是所谓的透视投影，与正交投影完全相反，正交投影的情况下所有object看起来与camera的距离都一样，不管实际的位置如何。

投影矩阵定义了视域体，并包含一个near plane（近裁剪面）和far plane（远裁剪面），一个垂直的视域，以及一个宽高比。在camera的和near plane之间的object是不可见的，超出far plane的object也不可见。就好比你的鼻子（near plane）和地平线(far plane）。视域定义了视域体的范围，宽高比即是显示器（或者窗口）的宽度除以高度。和view matrix一样，projection matrix也是调用DirectX API计算的。

World，view，projection space的变换都是在vertex shader阶段执行，但是需要你自己实现。可以单独使用每一种变换，也可以把这三个变换矩阵串联成一个world-view-projection矩阵，或者叫WVP。经过与投影矩阵相乘之后，所有的坐标都处于projection space（或者叫homogeneous clip space）中。