单调队列与滑动窗口(Sliding window, poj2823)

单调队列，顾名思义，就是（严格）单调（递增或递减）的队列。下面以单调递减队列为例。

单调递减队列：

1.单调递减的队列，队首元素总是最大的。

2.元素只能从队尾入队，但可以从队尾或队首出队。若待入队的元素>=队尾元素，队尾元素出队，直到待入队的元素<队尾元素，或队列为空，然后待入队的元素从队尾入队；若新入队的元素与队首元素的距离>=窗口宽度，说明队首元素已不在窗内，队首元素出队。

3.单调队列有两个单调性：(1)元素的值是严格单调的，这里是严格单调递减；(2)元素的下标总是严格单调递增的。

举个例子，有8个元素1, 3, -1, -3, 5, 3, 6, 7，窗口的宽度是3，沿着排列滑动，输出每个窗口的最大值。

例如，1, [3, -1, -3,] 5, 3, 6, 7，窗口中的三个元素是3, -1, -3，最大值是3。

于是，输出的值依次是3, 3, 5, 5, 6, 7。

题目是给定n个元素，窗口宽度是m，随着窗口的滑动，依次输出窗中元素的最大值和最小值。

我的算法是，首先对前m个元素由小到大排序，于是最小值是排序后数列的头元素，最大值是尾元素。移动窗口至下一格，排序好的数列插入一个元素，删除一个元素，仍然保持单调性，于是最小值仍然是头元素，最大值仍然是尾元素。搜索的时间复杂度是lgm（二分查找），插入/删除的时间复杂度是1（memcpy），进行n-m+1次，于是算法的时间复杂度是O(nlgm)。

下面用单调递减队列解决，仍然以1, 3, -1, -3, 5, 3, 6, 7为例。

队列为空，1直接入队。1

下一个元素3，大于1，1出队，3入队。3

下一个元素-1，小于3，-1入队。3, -1

下一个元素-3，小于-1，-3入队。3, -1, -3

下一个元素5，依次与队尾元素比较直到队尾元素>5或队空。于是-3, -1, 3依次出队，5入队。5

下一个元素3，小于5，入队。5, 3

下一个元素6，3, 5依次出队，6入队。6

下一个元素7，6出队，7入队。7

考察单调队列队首元素，可得3, 3, 5, 5, 6, 7。

下面是单调递减队列的代码。

int inputque[MAXN]    //输入序列
int indexque[MAXN]    //单调队列，事实上保存的是元素下标
int maxout[MAXN]    //输出窗内元素的最大值

int rear=-1, front=0;    //初始化队列为空。当rear+1 == front，队列为空；若rear==front，队列中只有一个元素。

for (int i=0; i<MAXN; ++i)    //遍历输入队列，i为当前下标
{
    if (rear+1 == front) indexque[++rear] = i;    //若队列为空，直接入队
    else
    {
        while (inputque[i] >= inputque[indexque[rear]] && rear>=front) --rear;    //若队尾元素<=当前元素且队列不为空，队尾元素出队直到...
        indexque[++rear] = i;    //当前元素入队

        if (i - indexque[front] == m) ++front;    //若队首元素已不在窗内，即当前元素的下标与队首元素的下标之差超过m，队首元素出队
    }

    maxout[i] = inputque[indexque[front]];    //输出单调队列队首元素，即最大元素。
}

初始输入序列的大致每个元素都入队一次、出队一次，这两个操作都消耗常数时间，所以时间复杂度为O(n)，即线性时间复杂度。