树状数组

前几天在做PAT1057题时,老是有几个case超时,后来发现有人用树状数组来解此题,通过了所有的case,第一次听到这个名词,现记下:

在解题过程中,我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。

但是不难发现,如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。

可以说,每次修改A[i]后,调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。

当n非常大时,程序会运行得非常缓慢。

因此,这里我们引入“树状数组”,它的修改与求和都是O(logn)的,效率非常高。

令这棵树的结点编号为C1,C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和,那么容易发现:C1 = A1C2 = A1 + A2C3 = A3C4 = A1 + A2 + A3 + A4C5 = A5C6 = A5 + A6C7 = A7C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8...C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质:设节点编号为x,那么这个节点管辖的区间为2^k(其中k为x二进制末尾0的个数)个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax,所以很明显:Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

算这个2^k有一个快捷的办法,定义一个函数如下即可:

int lowbit(int x){
	return x&(x^(x–1));
}


利用机器补码特性,也可以写成:
int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

例如对于节点5,补码为000...0101,-5的原码为100...0101,补码为011...1011,机器计算的时候根据补码来计算,可知 5&(-5)=000...0001,那么5节点管辖的区间为2^0,即一个节点”5“。

下面给出树状数组应用中的几个关键函数:

int lowbit(int x) 
{ 
    return  x&(-x); 
} 


int sum(int pos) 
{ 
    int res= 0; 
    while(end > 0) 
    { 
        res += c[pos]; 
        pos -= lowbit(pos); 
    } 
    return res; 
} 

void add(int pos , int value) 
{ 
    while(pos <= n) 
    { 
          c[pos] += value; 
          pos += lowbit(pos); 
    } 
} 





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