树状数组

前几天在做PAT1057题时，老是有几个case超时，后来发现有人用树状数组来解此题，通过了所有的case，第一次听到这个名词，现记下：

在解题过程中，我们有时需要维护一个数组的前缀和S[i]=A[1]+A[2]+...+A[i]。

但是不难发现，如果我们修改了任意一个A[i],S[i]、S[i+1]...S[n]都会发生变化。

可以说，每次修改A[i]后，调整前缀和S[]在最坏情况下会需要O(n)的时间。

当n非常大时，程序会运行得非常缓慢。

因此，这里我们引入“树状数组”，它的修改与求和都是O(logn)的，效率非常高。

令这棵树的结点编号为C1，C2...Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：C1 = A1C2 = A1 + A2C3 = A3C4 = A1 + A2 + A3 + A4C5 = A5C6 = A5 + A6C7 = A7C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8...C16 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 + A9 + A10 + A11 + A12 + A13 + A14 + A15 + A16

这里有一个有趣的性质：设节点编号为x，那么这个节点管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + ... + An

算这个2^k有一个快捷的办法，定义一个函数如下即可：

int lowbit(int x){
	return x&(x^(x–1));
}

利用机器补码特性，也可以写成：

int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

例如对于节点5，补码为000...0101，-5的原码为100...0101，补码为011...1011，机器计算的时候根据补码来计算，可知 5&(-5)=000...0001，那么5节点管辖的区间为2^0，即一个节点”5“。

下面给出树状数组应用中的几个关键函数：

int lowbit(int x) 
{ 
    return  x&(-x); 
} 

int sum(int pos) 
{ 
    int res= 0; 
    while(end > 0) 
    { 
        res += c[pos]; 
        pos -= lowbit(pos); 
    } 
    return res; 
} 

void add(int pos , int value) 
{ 
    while(pos <= n) 
    { 
          c[pos] += value; 
          pos += lowbit(pos); 
    } 
}