JZOJ.3400【GDOI2014模拟】旅行 解题报告

旅行

题目大意

Long long ago,there was a kingdom called HJY. HJY有n个城市，从1到n进行编号。HJY有m条道路，第i条道路连接着两个城市ai,bi，由于年代久远，所有的道路都已经不能使用。如果要修复第i条道路，需要wi的时间。现在黄国王想要将某些道路修复，使得1号城市能够到达n号城市，2号城市能够到达n-1号城市..k号城市能够到达n-k+1号城市。为了满足黄国王的要求，请问最少需要多少时间去修复道路。如果无法做到，黄国王会很生气，他会让你输出10！。

输入格式

第一行：n,m,k

接下来m行：ai,bi,wi

含义如上所述。

输出格式

输出共一行：最少需要多少时间修复道路。如果始终无法满足旅者的要求，请输出10!。

样例输入

5 5 2
1 3 4
3 5 2
2 3 1
3 4 4
2 4 3

样例输出

9

数据范围

20%的数据满足：k <= 2, n<= 10, m <= 20

40%的数据满足：k <= 3, n<=100, m<=1000

70%的数据满足：k<=4, n<=1000, m<=1000

100%的数据满足：k<=4, n<=10000, m<=10000, n >= 2*k, wi<= 1000, 1 <= ai, bi <= n

正解

看到k<=4，这是个很小的数。
我们设一个状态转移方程 F [ i ][ S ]，表示从图中选出了一颗以 i 为根节点的树，用二进制数 S 表示这待连接 2∗k 的点是否在这棵树中的状态，1表示在这棵树，为0则不在，此时组成这棵树的最小权之和为 F [ i ][ S ]。
转移很明显，如果 j 是一个和点 i 相连的点，且他两之间的距离为 v 则

F[i][s]=min(F[i][S],F[j][S']+F[i][S-S']+v）;

S′ 是属于 S 的一个集合，以上比较容易理解。
现在我们关注到如果 i 和 j 相连边，他两之间的距离为 v ，则
（ F [ i ][ S ]+ v ）可以更新F[ j ][ S ]，同理（ F [ j ][ S ]+ v ）也可以更新 F [ i ][ S ]。
可以打一个SPFA完成上述操作。
剩下的就简单，令good[ S ]=min( F [ i ][ S ])。则我们知道了将S状态联通所需要的最小代价。
注意，如果在 S 状态中，存在一个 i ，而不存在 n - i + 1 ，那么我们将这个状态删除。
最后就是要将这些状态组合起来，使得他们的权值和最小。我们可以再用一个DP解决。