GDOI 2016 Day1 第一题 中学生数学题 解题报告

题目大意

给出三个数 n0 （ n0 >0且为整数）、 p0 和 k 。
第一问：
满足 n = ⌊n0−kp⌋ ，问 n *( p - p0 )的最大值。（ n 为正整数）
第二问：
满足 n1 = ⌊n0−kp1⌋ ， n2 = ⌊n0−kp2⌋−n1 ( p1 > p2 )，求 n1 * ( p1 - p0 )+ n2 *( p2 - p0 )的最大值。
（ n1 和 n2 均为正整数）

输入格式

一行，三个数， n0 、 p0 和 k 。

输出格式

一行两个小数，中间用空格隔开，各保留三位小数。

样例输入

样例1

4 1 1

样例2

4 0 1

样例输出

样例1

2.000 3.000

样例2

4.000 5.000

数据范围

第一问

第一问，很简单。
对于一个值固定的 n ，可以推算出 p 的最大值为 n0−nk ，这样的话我们就可以直接枚举 n ，求出对应的 p ，统计最大值即可。
现在讲一下 O(1) 的算法。
数形结合。
化成一次函数图像大概是这个样子。

横轴是 n ，纵轴是 p 。
不难发现，棕色阴影部分的面积就等于( n0−nk - p0 )* n 。
所以现在问题变成了，选一个 n ，使得棕色阴影部分面积最大。

易证，要使面积最大， E 点肯定是选在线段 C D 的中点，此时面积等于三角形 P0 C D 的一半。

此时点 E′ 即为线段 C D 的中点，绿色面积即为最大阴影面积。
求 E′ 点对应横坐标 n 即可， n 可能不是整数，因此要取它最靠近的两个整数对应的答案的最大值。

第一个问就解决了。

第二问

第二问，在枚举 n1 的基础上，可以发现 n2 *( n0−n2k - p )的值呈一个单峰二次函数图像，可以用三分枚举最优的 n2 ，统计最大值即可。
接下来我们还是讲一下 O(1) 的算法。
依旧是数形结合。
依然是一个函数图像。
呵呵。
估计你会晕。

第二问的答案为( n0−n1k - p0 )* n1 +( n0−n2k - p0 )* n2 ，也就是黄色的面积加上紫色的面积。
如何让面积和最大化呢？
一个的时候取线段 C D 的中点，那么两个的时候，便取线段 C D 的三等分点，此时面积和最大。（至于证明吗，呵呵我不会）
如图，点 E′ 和点 E′′ 为线段 C D 的三等分点。
这时我们只需找到对应的 n1 和 n2 ，将 n1 和 n2 化成整数，就可以直接求出最佳答案了。