ACdream 1084 寒假安排（数论（k进制末位的0的数目+n!中v因子个数））
题目：http://acdream.info/problem?pid=1084
寒假安排
Problem Description
寒假又快要到了，不过对于lzx来说，头疼的事又来了，因为众多的后宫都指望着能和lzx约会呢，lzx得安排好计划才行。
假设lzx的后宫团有n个人，寒假共有m天，而每天只能跟一位后宫MM约会，并且由于后宫数量太过庞大了，而寒假的天数太少，所以lzx在寒假里不会与一个MM约会一次以上。现在lzx想要知道：寒假安排的方案数如果写成k进制，末位会有多少个0。
Input
输入的第一行是一个整数，为数据的组数t（t<=1000）。
每组数据占一行，为3个正整数n、m和k（1<=m<=n<2^31，2<=k<2^31），意思如上文所述。
Output
Sample Input
3 10 5 10 10 1 2 10 2 8
Sample Output
1 1 0
求n!中v因子个数的做法：
ll go(ll n, ll v){
ll ans = 0;
ll tmp = v;
while(n>=tmp){ //如果 tmp>n,另一个因子会小于1.
ans += n/tmp;
tmp*=v;
}
return ans;
}
或：
1*2*3*4*…*n = p^(n/p)*(1*2*,,,,*(n/p))*[原因子中不能被p整除的书的乘积] 那么 f[n][p] = n/p + f[n/p][p]，就可以通过递归的方法求出了。
LL getnum(int n,int p){
if(n<p) return 0;
return n/p+getnum(n/p,p);
}
A(n,m)=n!/(n-m)!=n(n-1)(n-2)*……*(n-m+1) 取k的因子最小的数目即是结果。
用素因子分解：
int prime[maxn],top1=0;
bool notprime[maxn];
void getprime(){
for(int i=2;i<=maxn;i++){
if(!notprime[i])prime[top1++]=i;
for(int j=0;j<top1&&i*prime[j]<=maxn;j++){
notprime[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}
maxn的拿捏不容易啊，开大啦可能超时，开小了会数组越界。直接分解吧。--》为什么开大了会超时？看来在一定情况下线性筛法+分解不一定就比直接分解要好。
关于k的因子最小的数目 的解释：A(n,m)转换成k进制有多少个零相当于它能连续被几个k整除，因此将k进行素因子分解，例如20=2^2*5，阶乘有几套k的素因子就有几个零。A(n,m)=n!/(n-m)!=n(n-1)(n-2)*……*(n-m+1) “A(n,m)除以k的素因子，等于n!除以k的素因子减去(n-m)!除k以的素因子”--》s[i]=getsum(n,fac[i])-getsum(n-m,fac[i]); 最后查看有几套：loop: minm=min(s[i]/fac[i],minm) 整个循环的结果就是"几套k的素因子"。
现在先见一个例子：
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL getzero(LL n,LL v){
if(n<v)return 0;
return n/v+getzero(n/v,v);
}
const LL maxn=1e6+10;
LL sta[maxn],pnum[maxn],top;
void fenjie(LL m){
top=0;
memset(pnum,0,sizeof(pnum));
memset(sta,0,sizeof(sta));
for(LL i=2;i*i<=m;i++){
if(m%i==0){
sta[top]=i;
while(m%i==0){
m/=i;
pnum[top]++;
}
top++;
}
}
if(m>1){
sta[top]=m;
pnum[top++]++;
}
}
LL pnum1[maxn],pnum2[maxn];
LL sys[maxn],stp;
void turn(LL m,LL v){
stp=0;
while(m>0){
sys[stp++]=m%v;
m/=v;
}
}
LL factorial(int m){
if(m==2) return 2;
return m*factorial(m-1);
}
LL facA(int n,int m){
LL ans=1,aq=n-m;
while(n>aq){
ans*=n;
n--;
}
return ans;
}
int main()
{
freopen("cout.txt","w",stdout);
LL n,m,k;
while(cin>>n>>m>>k){
fenjie(k);
memset(pnum1,0,sizeof(pnum1));
memset(pnum2,0,sizeof(pnum2));
cout<<"n!= "<<factorial(n)<<endl;
turn(factorial(n),k);
printf("n! %d进制：\n",k);
for(LL i=stp-1;i>=0;i--)cout<<sys[i]; cout<<endl;
cout<<"(n-m)!= "<<factorial(n-m)<<endl;
turn(factorial(n-m),k);
printf("(n-m)! %d进制：\n",k);
for(LL i=stp-1;i>=0;i--)cout<<sys[i]; cout<<endl;
for(LL i=0;i<top;i++){
pnum1[i]=getzero(n,sta[i]);
pnum2[i]=getzero(n-m,sta[i]);
}//最小的getzero因子个数“就是”阶乘数末尾的0的个数
cout<<"素因子对应的个数：\n";
for(LL i=0;i<top;i++)cout<<pnum1[i]<<" "; cout<<endl;
for(LL i=0;i<top;i++)cout<<pnum2[i]<<" "; cout<<endl;
cout<<"k进制素因子幂对应的个数:\n";
for(LL i=0;i<top;i++)cout<<pnum1[i]/pnum[i]<<" "; cout<<endl;
for(LL i=0;i<top;i++)cout<<pnum2[i]/pnum[i]<<" "; cout<<endl;
//A(n,m)=n!/(n-m)!，所以A(n,m)末尾0的个数“就是”pnum1[i]-pnum2[i]的最小值。
//不是pnum1[i]的最小值-pnum2[i]的最小值的啊，有可能在这之间产生新的0.
//问题是寻找k进制对应的末尾0，所以最后比较要除以k的各个素因子个数。
//不然就相当于找到了k'进制的A(n,m)末尾0的个数。其中k'是所有k的素因子的一次幂的乘积。
cout<<"A(n,m)= "<<facA(n,m)<<endl;
LL k_k=1;
for(int i=0;i<top;i++){
k_k*=sta[i];
}
turn(facA(n,m),k_k);
cout<<"对应k_k进制：\n";
for(LL i=stp-1;i>=0;i--)cout<<sys[i]; cout<<endl;
LL minm=9999999999;
for(LL i=0;i<top;i++){ //对应k'(k_k)
LL res=pnum1[i]-pnum2[i];
minm=min(minm,res);
}
cout<<"minm="<<minm<<endl;
turn(facA(n,m),k);
cout<<"对应k进制：\n";
for(LL i=stp-1;i>=0;i--)cout<<sys[i]; cout<<endl;
minm=9999999999;
for(LL i=0;i<top;i++){ //对应k
LL res=(pnum1[i]-pnum2[i])/pnum[i];
minm=min(minm,res);
}
cout<<"minm="<<minm<<endl;
}
return 0;
}
输入两个例子：
16 9 8
16 9 2
结果对照：
n!= 20922789888000
n! 8进制：
460356735300000
(n-m)!= 5040
(n-m)! 8进制：
11660
素因子对应的个数：
15
4
k进制素因子幂对应的个数:
5
1
A(n,m)= 4151347200
对应k_k进制：
11110111011100001000100000000000
minm=11
对应k进制：
36734104000
minm=3
n!= 20922789888000
n! 2进制：
100110000011101110111011101011000000000000000
(n-m)!= 5040
(n-m)! 2进制：
1001110110000
素因子对应的个数：
15
4
k进制素因子幂对应的个数:
15
4
A(n,m)= 4151347200
对应k_k进制：
11110111011100001000100000000000
minm=11
对应k进制：
11110111011100001000100000000000
minm=11
应该懂了~~
代码：
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int getnum(int n,int p){ //n!的p因子的个数
if(n<p) return 0;
return n/p+getnum(n/p,p);
}
const int maxn=1e5;
int sta[maxn],pnum[maxn],top2;
void fenjie(int m){
top2=0;
memset(sta,0,sizeof(sta));
memset(pnum,0,sizeof(pnum));
for(int i=2;i*i<=m;i++){
if(m%i==0){
sta[top2]=i;
while(m%i==0){
m/=i;
pnum[top2]++;
}
top2++;
}
}
if(m>1){
sta[top2]=m;
pnum[top2++]++;
}
}
int pn[maxn];
int main()
{
//freopen("cin.txt","r",stdin);
int t,n,m,k;
cin>>t;
while(t--){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
fenjie(k);
memset(pn,0,sizeof(pn));
for(int i=0;i<top2;i++){
pn[i]=getnum(n,sta[i]);
pn[i]-=getnum(n-m,sta[i]);
}
int ans=pn[0]/pnum[0];
for(int i=1;i<top2;i++){
int qr=pn[i]/pnum[i];
ans=ans<qr?ans:qr;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}