不同种类不同个数集合的重复排列——指数型母函数

我们知道多元素的多重集排列是这样的：

元素   个数

a1       n1

a2       n2

a3       n3

……

ak       nk

其中n=n1+n2+……+nk

取出所有的元素，不同的排列情况应该是

当不是取出所有元素呢？

回想母函数的方法：

1g砝码，2g砝码，3g砝码……均有无限个，那么母函数的表达式就是

砝码故事的背景是所有的砝码都是”同类的“，而现在相当于是有不同种类的砝码，问排列情况。从这个角度看，指数型函数的答案应该比普通母函数的答案要大。

事实确实是这样：

最终得到：

答案就是 对应的

应用：

hdu 1521

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1521

大意：有n种物品，并且知道每种物品的数量。要求从中选出m件物品的排列数

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int c[15],fac[15];
double c1[15],c2[15];
int main()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=10;i++) fac[i]=fac[i-1]*i;
    int n,m;
    while(cin>>n>>m){
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&c[i]);
        for(int i=0;i<15;i++) c1[i]=c2[i]=0.0;
        for(int i=0;i<=c[1];i++){
            c1[i]=1.0/fac[i];
        }
        for(int i=2;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=m&&j<=c[i];j++){
                for(int k=0;k+j<=m;k++){
                    c2[k+j]=c2[k+j]+c1[k]/fac[j];
                }
            }
            for(int j=0;j<=m;j++){
                c1[j]=c2[j];
                c2[j]=0;
            }
        }
        printf("%.0lf\n",c1[m]*fac[m]);
    }
    return 0;
}