最大递增子序列--动态规划+二分

转自：https://www.felix021.com/blog/read.php?1587

最长递增子序列，Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。
排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了，这两个太容易理解了。

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

package stringTest;

/** * 最大递增子序列 * * @author duola * */
public class lis {

    //二分查找第一个大于等于目标值的元素的位置
    private static int birnary(int[] a, int left, int right, int value) {

        int middle = 0;
        if (a.length == 0 || left > right) {
            return -1;
        }

        while (left < right) {
            middle = (left + right) / 2;

            if (a[middle] >= value) {
                right = middle;
            } else {
                left = middle + 1;
            }
        }
        if (a[left] >= value) {
            return left;
        }
        return right + 1;
    }

    //动态规划求解，用一个数组存储长度最大的递增子序列的最大元素的最小值
    private static int lisub(int[] a) {
        if (a.length <= 0 || a == null)
            return 0;
        int len = 1;//只有一个元素情况下，就是最大递增子序列就是1
        int[] s = new int[a.length + 1];
        s[0] = a[0];
        for (int i = 1; i < a.length; i++) {
            int pos = birnary(s, 0, len, a[i]);
            s[pos] = a[i];
            if (len < pos) {
                len = pos;
            }
        }
        return len;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] a = { 2 ,1 ,5, 3, 6 ,4, 8 ,9 ,7 };
        System.out.print(lisub(a));
    }

}