Hessian矩阵

海赛矩阵

 

           在 数学 中，海赛矩阵是一个自变量为向量的实值函数的二阶 偏导数 组成的 方块矩阵 ，此 函数如下：

 

如果f所有的二阶导数都存在，那么f 的海赛矩阵即：

H(f)ij(x) = DiDjf(x)

 

其中  ，即

 

（也有人把海色定义为以上矩阵的行列式） 海赛矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。

 混合偏导数和海赛矩阵的对称性

海赛矩阵的混合偏导数是海色矩阵主对角线上的元素。假如他们是连续的，那么求导顺序没有区别，即

 

上式也可写为

 

在正式写法中，如果f函数在区域D内连续并处处存在二阶导数，那么f的海赛矩阵在D区域内为对称矩阵。

在 R^2→R 的函数的应用

给定二阶导数连续的函数，海色矩阵的行列式，可用于分辨f的临界点是属于鞍点还是极值。

对于f的临界点(x0,y0)一点，有  ，然而凭一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大点还是局部极小点。海赛矩阵可能解答这个问题。

H > 0 ：若 ，则(x0,y0)是局部极小点；若 ，则(x0,y0)是局部极大点。
H < 0 ：(x0,y0)是鞍点。
H = 0 ：二阶导数无法判断该临界点的性质，得从更高阶的导数以 泰勒公式 考虑。