Middle-题目49：279. Perfect Squares

题目原文：
Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, …) which sum to n.
题目大意：
给出正整数n，求出把n拆成最少的完全平方数之和的个数。
例如,12=4+4+4，拆出3个完全平方数，返回3.
13=4+9，最少拆出2个完全平方数，返回2.
题目分析：
方法一：（动态规划）记dp[i]为组成i的平方数的最小个数，则可以从dp[i]推到dp[i+j^2]:
dp[i+j^2]=min(dp[i+j^2],dp[i]+1),即i+j^2这个数可能有更优的拆分方式是拆出j^2,否则维持原来的拆分方式。
初始化：dp[1]=1(1只能拆出1),dp[i]=i(最坏的拆分方法是把每个数i都拆成i个1，然后进一步优化
迭代过程：
i=1时，更新2,5,10,17….dp(n^2+1)=2;此时dp[2]=2
i=2时，更新3,6,11,18….dp(n^2+2)=3;
……
外层循环从1到n，内层循环从i到根号n，故总复杂度O(nlogn).
方法二：（拉格朗日四平方和定理）根据Lagrange四平方定理，任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和。这样只需考虑什么时候返回1,2,3,4即可。
关于lagrange四平方定理的证明见这篇论文。
若一个数n是4的倍数，则一直除以4化简，道理很简单，因为若k可以拆成k1+k2+k3+k4(其中ki是完全平方数或0)，则4k=4k1+4k2+4k3+4k4，其中4ki显然也是完全平方数。
如果一个数除以8余7，则一定是由4个完全平方数组成。证明见碎碎念部分。
接下来就剩下1,2,3三种情况了，暴力搜索一下1和2的情况，所以搜索{i∈Z|i∈[0,sqrt(n)]}，如果找到能开出j-i的数，则返回1或2（如果i=0或根号n，则是1，否则是2.
若找不到，则一定是3.
因为这里的暴力搜索是从0到根号n的，所以算法复杂度是O(logn)!!!!!!
源码：（language：java）
方法一：

public class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        for(int i = 0;i<=n;i++)
            dp[i]=i;
        for(int i = 1;i*i <= n;i++) 
            dp[i*i]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            for(int j=1;i+j*j<=n;j++) {
                dp[i+j*j]=Math.min(dp[i+j*j], dp[i]+1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

方法二：

public class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        while(n%4 == 0)
            n/=4;
        if(n%8 == 7)
            return 4;
        for (int a=0; a*a<=n; ++a) {
            int b = (int)Math.sqrt(n - a*a);
            if (a*a + b*b == n)
                return func(a) + func(b);
        }
        return 3;
    }
    private int func(int a) {
        return a==0?0:1;
    }
}

成绩：
方法一：66ms,beats 72.43%,众数68ms,6.46%
方法二：4ms,beats 97.67%
Cmershen的碎碎念：
由此可见数学是科学之母，然而我不是学数学的，那些定理的证明对我来说如同天书……还有人说，@jianchao.li.fighter这个作者出的题都跟数学有关系。
2016.3.11补充步骤2的证明部分：
首先根据四平方数定理，任何正整数都可以拆成不超过4个完全平方数的和。
显然，任何完全平方数n2要么是4的倍数，要么被4除余1.（这个证明略）
假设存在正整数a1,a2使得 a21+a22=8k+7(k∈N) ,那么a1和a2必然一个是偶数一个是奇数，则 a21+a22 可表示为 4s+4t+1(s,t∈N), 是模4余1的，与模8余7矛盾。
假设存在正整数a1,a2,a3使得 a21+a22+a23=8k+7(k∈N) ,若有一个数是奇数，另外两个数是偶数，同上易得平方和是模4余1的， 若三个数都是奇数