一个关于欧拉函数的性质

先上公式：

∑d|nφ(d)=n

证明1

辣鸡证法
设 f(n)=∑d|nφ(d) ；

当n=1时，原始显然成立；

当n为质数时， f(n)=1+(n−1)=n ，成立；

当 n=pk (p为质数)时，

f(n)=1+∑i=0k−1pi∗(p−1)

f(n)=1+(p−1)∑i=0k−1pi

f(n)=1+(p−1)∗pk−1p−1

f(n)=pk=n

得证！
有因为 φ 是积性函数，根据莫比乌斯反演的性质， f 也为积性函数，所以原始得证！

证法2

由LYD_7_29提供

设集合

S={1,2,3,4....,n−1,n}

在设一个数： d ，并且 (d|n) ，
那么S中就有一些数是恰好 gcd(dx,n)=d ，
变一下： gcd(x,nd)=1
我们把所有的x分去一个集合，设为 S′d ，这个集合中很显然有 φ(dn) 个，
那么我们在枚举每个d的时候，就会把一些数进行分类，
枚举完以后，每个数都会被分去一类，
所以：

∑d|nφ(d)=n

得证！

证法3

//坑