《外尔（H.Weyl）：Symmetric》读书笔记（2015-10-22）

1952年、1980年普林斯顿大学出版、再版，2002年中文版出版。
序言及文献评注
我的目的有两个：1、对称性在化学中的应用；2、对称性用群论来描述。
本书是一本浅显的科普著作。
1951年2月，我在普林斯顿大学的瓦尼克桑讲座作了几次演讲。本书就是把这些演讲稍作修改，再加上了给出一些数学证明的两个附录而编成的。
赫尔曼·外尔
1951年12月于苏黎世
目录
一、双侧对称性
数学家把能保持空间结构的变换称为自同构（automorphism）。 
我们说左和右实质上是相同的，指的就是下列事实：平面中的反射是一个自同构。
在无机界中，最为引人注目的对称性例子要数晶体了。在晶态中，原子在其平衡位置附近振动，好像它们彼此间有根弹性弦连接似的。这些平衡位置在空间中构成了一个有规则的固定构型。虽然对于32个几何上可能的晶（体对称性）类来说，它们中的大多数都包含双侧对称性，但是也并非它们全都包含这种对称性。当该晶类不含双侧对称性时，我们就可能有所谓的对映晶体（enantiomorph crystals），它们以左旋形式和右旋形式存在，其中任一种是另一种的镜像。
二、平移对称性、旋转对称性和有关的对称性
在第一讲中我用了变换这个词来称呼这种一对一的映射S；以后则用S^-1来表示它的逆映射。当然恒同映射I是一个变换，I本身就是它自己的逆映射。平面反射是双侧对称性的基本操作，它有这样的性质：它的迭代SS给出恒同映射。换言之，平面反射是其自身的逆映射。
此外我也讲过一类特殊的空间变换，即几何学家所谓的相似（变换）。但是我更喜欢把它称为自同构，像莱布尼兹那样，把它们定义为一些保持空间结构不变的变换。恒同变换I是一个自同构，而且如果S是自同构，那么其逆S^-1也是自同构。再者，两个自同构S、T的复合ST还是自同构。数学家们采用了群这个词来描述这种情况，所以就有自同构构成一个群的说法。很明显，全等变换的全体构成一个群——自同构群的一个子群。
【
20151023：内自同构群同构于射影中心。外自同构群定义为自同构群模内自同构群的商群。
In(G)=G/Z(G)
Out(G)=Aut(G)/In(G)
PSL(2,2)=GL_2(F_2)=SL_2(F_2)=S_3表明In(S_3)=In(SL(2,2))=PSL(2,2)=S_3,又因为Aut(S_3)=S_3，所以Out(S_3)=C_1
设G是群，以Aut(G)表示G的自同构群，In(G)表示G的内自同构群（inner automorphism group），G的中心记为Z(G),n元循环群记为Z_n,生成元为a的循环群记作(a)。
在上一段中我们看到，取共轭的作用是G的自同构，因此把G的元σ映到“取关于σ的共轭”这也就给出了一个从G到Aut(G)的同态映射。
这同态映射的核称为G的中心，记为Z(G)，显然Z(G)是由“与G中所有元都可换的元”所组成的。
同态映射的像记为In(G)，称为G的内部自同构群。
In(G)是Aut(G)的正规子群
Aut(G)/In(G)记为Out(G)，称为G的外部自同构群（Outer Automorphism Group）。
凯莱定理的非形式化证明：
有限群G弱抽象为一个集合G，可以这样定义群G在集合G上的作用：对于群G的任意一个元σ，σ的作用定义为把集合G上的每个元都“左乘”σ。即，对于集合G的任意元g，σ的作用把g映到σg。这显然是从左边的作用。这作用有时被称为“左移动”。同样的我们也可以定义“右移动”。一个左（右）移动显然是集合G的一个置换，并且对于不同的σ，其所对应的置换显然是不同的。于是有限群G就可以看成是集合G上的置换群S_n的一个子群。于是我们得到，任何有限群都是某个置换群S_n的子群。
G还可以像这样作用于G本身：对于群G的任意一个元σ，σ的作用把G的任意元g映到σgσ^-1。这作用的特点是它保持G的群结构不变。也就是说，把G的任意元g映到σgσ^-1是G的一个自同构。这是因为对于G的任意两元f、g，我们显然有(σfσ^-1)(σgσ^-1)=σ(fg)σ^-1。这作用是从左边的，我们也可以同样地定义从右边的作用为，σ把G的任意元g映到σ^-1gσ。对于G的元g或G的子群U，我们通常把形如σgσ^-1的元和形如σUσ^-1的子群分别称为g和U的共轭。于是U是正规子群的条件也可以陈述为，U在取共轭的作用下不变。
由于我们通常是把映射写在左边，所以默认Aut(X)是从左边作用于X。
对每个群G，我们都有一批自同构f_a(a∈G)。但当a≠b时，f_a和f_b可能相同。整个内自同构群的大小和结构由In(G)=G/Z(G)给出。当中心很小时，内自同构比较多。另一个极端情形是：Z(G)=G，也即G是Abel群的情形，Abel群的内自同构群是C_1={1}，即内自同构只有一个：恒等自同构。因此一个Abel群的自同构（除单位自同构外）都是外自同构。
】
在相似变换中，存在着一些并不改变物体大小的变换，我们现在就把这些变换称为叠合。一个叠合即可是真的（proper），即它将左螺旋变为左螺旋，将右螺旋变为右螺旋；也可是非真的（improper）或反射的（reflexive），即它将左螺旋变为右螺旋，将右螺旋变为左螺旋。
真叠合就是刚才我们称之为全等变换的、与一个刚体的质点在运动前后的位置有关的那些变换。叠合构成了相似的一个子群，运动又构成了叠合群的一个指数为2的子群。真叠合构成了整个叠合群中的一半，而非真叠合构成了另一半。不过，仅有前一半才形成一个群；因为两个非真叠合A、B的复合AB是一个真叠合。
保持O点不变的叠合，可以称为绕O点旋转（rotation）。因此就有了真旋转和非真旋转之分。绕一给定中心O的所有旋转构成一个群。叠合的最简单类型是平移（translations）。所有的平移构成一个群。
这一切与对称性有什么关系呢？它们为定义对称性定义了一种适当的数学语言。
【20151023：非形式化地证明了任意有限群同构于O(n)的一个子群。严格证明：由凯莱定理可知，任意有限群有等价意义上唯一的一个正则置换表示、正则置换阵表示，仅需证明正则置换阵是正交矩阵即可】
空间任意图形的对称性由此群的一个子群描述。
要把双侧对称性自然地推广到在这一更广泛几何意义上的对称性，就在于用任何自同构群来代替平面中的反射。
这些就是二维情况下。仅可能有的中心对称性：
C_1,C_2,C_3.……
D_1,D_2,D_3.……
C_1意味着根本没有对称性，而D_1只不过就是双侧对称性。
在三维空间中不存在无限多个正多面体，而最多五个正多面体。
在列出由三维空间中真旋转构成的不同群的完整表时，如果我们已经列出C_2，那就应该把D'_1删去。
C_1,C_2,C_3,C_4,……
    D'_2=C_2+C_2,D'_3,D'_4,……
这样一来，我们就找出了由真旋转构成的三个新群T、W和P。它们分别使得正四面体、立方体（或正八面体）和正五边形十二面体（或正二十面体）不变。它们的阶数分别是12，24，60。
三、装饰对称性
这一讲要比前一讲更系统一些，因为我们只讨论一种特殊的几何对称性。在二维情况中，它与表面装饰艺术有关；在三维情况中，它刻画了原子在晶体中的排列。所以我们把它称为装饰对称性或结晶对称性。
装饰对称性与平面中叠合映射的不连续群有关。
一个具有整系数的齐次线性变换，当它的逆变换也属于同样类型的话，数学家们就把它称为是幺模的（unimodular）。容易看出，具有整系数的线性变换为幺模的，当且仅当它的模数a_11a_22-a_12a_21等于+1或-1。
对于群Γ而言，我们只有下列10种可能性：
C_1,C_2,C_3,C_4,C_6；D_1,D_2,D_3,D_4,D_6。
在找到10个可能的旋转群Γ和由其中的每一个群所确定的不变点阵L后，我们就必须把一个Γ和一个相应的L联系起来，以得到整个叠合映射群。虽然对于Γ来说只有10种可能性，但是对于整个叠合群△来说，恰好有17种本质上不同的可能性。因此，对于有双重无限关联的二维装饰而言，就有17种本质上不同的对称性。这一结果一直迟至1924年才出现在斯坦福大学执教的波利亚（1887-1985）证明。
四、晶体·对称性的一般数学观念
上一讲中，对于二维情况我们考虑了就下列诸情况编制相应的完整的表的问题：
（1）齐次正交变换的所有正交不等价有限群的表；
（2）具有不变点阵的所有此种群的表；
（3）带有整系数的齐次变换的所有幺模不等价有限群的表；
（4）那些仅包含整数坐标平移的，而不包含其他平移的非齐次线性变换的所有幺模不等价不连续群的表。
问题（1）的解答由莱奥纳多的表C_n、D_n（n=1,2,3,……）给出。
把该表中的指数n限制为n=1,2,3,4,6即给出了问题（2）的解答。人们证明了这四张表中所包含的群的数目h_1,h_2,h_3,h_4原来分别是∞，10,13,17。
毫无疑问，问题（3）是最重要的。
人们可以不对二维平面，而对一维直线同样提出这四个问题，此时h_1,h_2,h_3,h_4都等于2。
我们现在打算从2维上升到3维。
在三维情况下，h_1,h_2,h_3,h_4的数值为∞，32,70,230。
“度量加点阵”是二次型的算术理论的基础，后者是高斯所开创，并在整个19世纪的数论中起了中心作用。
表B列举了对于Γ得出的32种可能性，它们分别对应于晶体中存在的32种对称类【分子对称群仅有32种；晶体外形的全部对称形式，称为对称点群，共32种】。对于群△本身，我们有230种不同的可能性【晶体内部构造一切可能的对称形式，称为空间群或空间费多罗夫群。仅含第一种运动的群有65个，还含有第二种运动的群有165个，总共230个。】。
【
晶体点群不可能有5阶和大于6阶的元素。
只有下列32个点群才可能是晶体点群：
在第一类点群中有11种：循环群C_1、C_2、C_3、C_4、C_6，二面体群GAP[4,2]=V=D_2、GAP[6,1]=S_3=D_3、GAP4[8,3]=D_4、D_6，GAP4[ 12, 3 ]=A_4=四面体群T和 GAP[24,12]=S_4=八面体群O；
在第二类点群中有21种：S_2、S_4、S_6、C_1h、C_2h、C_3h、C_4h、C_6h、C_2v、C_3v、C_4v、C_6v、D_2h、D_3h、D_4h、D_6h、D_2d、D_3d、 GAP4[24,13]=A_4×C_2=T_h、GAP4[24,12]=S_4=T_d、GAP4[48,48]=S_4×C_2=正八面体完全对称群O_h。
点群：三维实正群O(3)的有限子群。
第一类点群：只含转动元素，SO(3)的有限子群，也称为固有点群。
第二类点群：除含有转动元素外，还含有转动反演元素。分为I型非固有点群和P型固有点群。
第一类点群是SO(3)的子群
5种可能情况：
N=2,3……阶循环群：每个元素自成一类，共有N个类，共有N个一维不可约不等价表示
N=4,6，……阶二面体群：D_2群共分为4个类，有4个一维不可约不等价表示，可由两个C_2表示的直积给出。正方形对称群D_4共分为5个类，有5个不可约不等价表示，4个一维不可约不等价表示，1个二维表示，D_4到C_2的三个同态，可得到D_4的三个一维非恒等不可约不等价表示
N=12阶四面体群：T群12个元素分4个类，有4个不等价不可约表示，T/D_2与C_3同构，可得T群的3个一维不等价表示
N=24阶八面体群：O群共有5个类，故有5个不等价不可约表示，2个一维表示，1个二维表示，2个三维表示
gap> G:=SymmetricGroup(4);IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
Sym( [ 1 .. 4 ] )
[ 24, 12 ]
[ ()^G, (1,2)^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3,4)^G ]
5
1,6,3,8,6,
[ 24, 12 ],[ 4, 2 ],[ 8, 3 ],[ 3, 1 ],[ 4, 1 ],
N=60阶十二面体群：Y群
第二类点群与熊夫里（Schoenflie）分类的对应，第二类点群可由第一类点群构造。分为9类：
S_2n,C_nv,C_nh,D_nh,D_nd,T_h,O_h,Y_h,T_d
2n阶Abel群C_n×C_2，共有2n个共轭类，n为奇数时，S_4n+2群；n为偶数时，C_2nh群
2n阶非Abel群D_n×C_2，共有2n个共轭类
24阶群T_h=A_4×C_2，共有8个共轭类
gap> G:=DirectProduct(AlternatingGroup(4),CyclicGroup(2));IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<group of size 24 with 3 generators>
[ 24, 13 ]
[ DirectProductElement( [ (), <identity> of ... ] )^G, DirectProductElement( [ (), f1 ] )^G,
  DirectProductElement( [ (2,3,4), <identity> of ... ] )^G, DirectProductElement( [ (2,3,4), f1 ] )^G,
  DirectProductElement( [ (2,4,3), <identity> of ... ] )^G, DirectProductElement( [ (2,4,3), f1 ] )^G,
  DirectProductElement( [ (1,2)(3,4), <identity> of ... ] )^G, DirectProductElement( [ (1,2)(3,4), f1 ] )^G ]
8
1,1,4,4,4,4,3,3,
[ 24, 13 ],[ 24, 13 ],[ 6, 2 ],[ 6, 2 ],[ 6, 2 ],[ 6, 2 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],
48阶群O_h=GAP4[48,48]=S_4×C_2，共有10个共轭类
gap> G:=SmallGroup(48,48);IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<pc group of size 48 with 5 generators>
[ 48, 48 ]
[ <identity> of ...^G, f1^G, f2^G, f3^G, f4^G, f1*f2^G, f1*f4^G, f2*f3^G, f2*f4^G, f1*f2*f4^G ]
10
1,6,1,8,3,6,6,8,3,6,
[ 48, 48 ],[ 8, 5 ],[ 48, 48 ],[ 6, 2 ],[ 16, 11 ],[ 8, 5 ],[ 8, 2 ],[ 6, 2 ],[ 16, 11 ],[ 8, 2 ],
gap> StructureDescription(SmallGroup(48,48));
"C2 x S4"
120阶群I_h=A_5×C_2
表示可由第一类点群的表示与C_2表示直积得到
与D_n同构的P型第二类点群，C_nv群。习惯上水分子对称群记为C_2v=D_2=C_2×C_2,由4个元素组成；氨的分子对称群记为C_3v=D_3=S_3，由6个元素组成
水分子对称群：水分子H2O
H-O-H
氨分子：NH3(1个氮原子N和3个氢原子H)
H-N-H
  |
  H
与D_2n同构的P型第二类点群
与O同构的P型第二类点群
】
这些自同构构成了一个群，这种群人们称为伽罗瓦群。伽罗瓦理论只不过是对于集合Σ给出的相对性理论。下面我举出伽罗瓦理论的两个例子。
有理数域上x^2-2=0的伽罗瓦群是C_2，这与sqrt(2)的无理性（irrationality）有什么关系？
代数方程z^p-1=0有p个根，这p个根形成了一个正p边形的诸顶点。z=1是其中一个顶点，如果p是素数，z^(p-1)+z^(p-2)+……+z+1是有理数域上的不可约多项式？它的伽罗瓦群是一个p-1阶的循环群。次数为2的方程，即二次方程，可以用开平方运算。四种有理运算以及开平方运算，正是那种能在几何上用直尺和圆规作出的代数运算。这就是可用直尺和圆规作出正三角形、正五边形和正十七边形的原因。
注意到下面一点是很有趣的：虽然十七边形的几何对称性是由C_17来描述的，然而它的代数对称性却是由C_16来描述的。
正257、65537边形也是可以用尺规作图的，正七、十一、十三边形不能用尺规作图。
无论何时人们同一个被赋予结构的实体Σ打交道，就要设法去决定它的自同构群。
附录A 确定三维空间中由真旋转构成的所有有限群
附录B 计入非真旋转



Group GAP4(24,12) [S4] 1,9,8,6,0,0,0,0,
——物理中的群论：非形式化+精确性
O中元素a_j（j=1,2，……，24）的乘法表
G24ElementToOrder(2)=2
G24ElementToOrder(3)=2
G24ElementToOrder(4)=3
G24ElementToOrder(5)=3
G24ElementToOrder(6)=3
G24ElementToOrder(7)=3
G24ElementToOrder(8)=3
G24ElementToOrder(9)=3
G24ElementToOrder(10)=3
G24ElementToOrder(11)=3
G24ElementToOrder(12)=2
G24ElementToOrder(13)=4
G24ElementToOrder(14)=4
G24ElementToOrder(15)=2
G24ElementToOrder(16)=2
G24ElementToOrder(17)=2
G24ElementToOrder(18)=4
G24ElementToOrder(19)=4
G24ElementToOrder(20)=2
G24ElementToOrder(21)=4
G24ElementToOrder(22)=2
G24ElementToOrder(23)=4
O有1个1阶元，9个2阶元，8个3阶元，6个4阶元，0个6阶元，0个8阶元，0个12阶元，0个24阶元

正八面体对称群O=S_4=T_d共有24个元素，共有5个共轭点，共5个不可约表示的维数分别为1,1,2,3,3,
1+1+4+9+9=24。
特征标表为
1,(ab),(ab)(cd),(abc),(abcd)
χ_0,1,1,1,1,1
ε,1-1,1,1,-1
θ,2,0,2,-1,0
ψ,3,1,-1,0,-1
εψ,3-1,-1,0,1

15种24阶群共轭类的长度分别为：12、24、7、9、12、9、12、9、24、15、15、5、8、12、24。
52种48阶群中，特征标都是整数的只有3种：
gap> g:=SmallGroup(48,38);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT42

      2  4  4  3  3  4  3  3  3  4  3  2  2  3  3   2
      3  1  .  1  1  1  1  .  .  .  1  1  1  1  .   1

        1a 2a 2b 2c 2d 3a 2e 2f 2g 4a 6a 6b 6c 4b 12a
     2P 1a 1a 1a 1a 1a 3a 1a 1a 1a 2d 3a 3a 3a 2d  6c
     3P 1a 2a 2b 2c 2d 1a 2e 2f 2g 4a 2b 2c 2d 4b  4a
     5P 1a 2a 2b 2c 2d 3a 2e 2f 2g 4a 6a 6b 6c 4b 12a
     7P 1a 2a 2b 2c 2d 3a 2e 2f 2g 4a 6a 6b 6c 4b 12a
    11P 1a 2a 2b 2c 2d 3a 2e 2f 2g 4a 6a 6b 6c 4b 12a

X.1      1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1   1
X.2      1 -1 -1 -1  1  1  1  1 -1  1 -1 -1  1 -1   1
X.3      1 -1 -1  1  1  1  1 -1 -1 -1 -1  1  1  1  -1
X.4      1 -1  1 -1  1  1 -1  1 -1 -1  1 -1  1  1  -1
X.5      1 -1  1  1  1  1 -1 -1 -1  1  1  1  1 -1   1
X.6      1  1 -1 -1  1  1 -1 -1  1  1 -1 -1  1  1   1
X.7      1  1 -1  1  1  1 -1  1  1 -1 -1  1  1 -1  -1
X.8      1  1  1 -1  1  1  1 -1  1 -1  1 -1  1 -1  -1
X.9      2  . -2 -2  2 -1  .  .  .  2  1  1 -1  .  -1
X.10     2  . -2  2  2 -1  .  .  . -2  1 -1 -1  .   1
X.11     2  .  2 -2  2 -1  .  .  . -2 -1  1 -1  .   1
X.12     2  .  2  2  2 -1  .  .  .  2 -1 -1 -1  .  -1
X.13     2 -2  .  . -2  2  .  .  2  .  .  . -2  .   .
X.14     2  2  .  . -2  2  .  . -2  .  .  . -2  .   .
X.15     4  .  .  . -4 -2  .  .  .  .  .  .  2  .   .

gap> g:=SmallGroup(48,40);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT44

      2  4  4  3  3  4  3  3  3  4  3   2   2  3  3   2
      3  1  .  1  1  1  1  .  .  .  1   1   1  1  .   1

        1a 2a 4a 4b 2b 3a 4c 4d 2c 4e 12a 12b 6a 4f 12c
     2P 1a 1a 2b 2b 1a 3a 2b 2b 1a 2b  6a  6a 3a 2b  6a
     3P 1a 2a 4a 4b 2b 1a 4c 4d 2c 4e  4a  4b 2b 4f  4e
     5P 1a 2a 4a 4b 2b 3a 4c 4d 2c 4e 12a 12b 6a 4f 12c
     7P 1a 2a 4a 4b 2b 3a 4c 4d 2c 4e 12a 12b 6a 4f 12c
    11P 1a 2a 4a 4b 2b 3a 4c 4d 2c 4e 12a 12b 6a 4f 12c

X.1      1  1  1  1  1  1  1  1  1  1   1   1  1  1   1
X.2      1 -1 -1 -1  1  1  1  1 -1  1  -1  -1  1 -1   1
X.3      1 -1 -1  1  1  1  1 -1 -1 -1  -1   1  1  1  -1
X.4      1 -1  1 -1  1  1 -1  1 -1 -1   1  -1  1  1  -1
X.5      1 -1  1  1  1  1 -1 -1 -1  1   1   1  1 -1   1
X.6      1  1 -1 -1  1  1 -1 -1  1  1  -1  -1  1  1   1
X.7      1  1 -1  1  1  1 -1  1  1 -1  -1   1  1 -1  -1
X.8      1  1  1 -1  1  1  1 -1  1 -1   1  -1  1 -1  -1
X.9      2 -2  .  . -2  2  .  .  2  .   .   . -2  .   .
X.10     2  2  .  . -2  2  .  . -2  .   .   . -2  .   .
X.11     2  . -2 -2  2 -1  .  .  .  2   1   1 -1  .  -1
X.12     2  . -2  2  2 -1  .  .  . -2   1  -1 -1  .   1
X.13     2  .  2 -2  2 -1  .  .  . -2  -1   1 -1  .   1
X.14     2  .  2  2  2 -1  .  .  .  2  -1  -1 -1  .  -1
X.15     4  .  .  . -4 -2  .  .  .  .   .   .  2  .   .

gap> g:=SmallGroup(48,48);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT52

      2  4  3  4  1  4  3  3  1  4  3
      3  1  .  1  1  .  .  .  1  .  .

        1a 2a 2b 3a 2c 2d 4a 6a 2e 4b
     2P 1a 1a 1a 3a 1a 1a 2c 3a 1a 2c
     3P 1a 2a 2b 1a 2c 2d 4a 2b 2e 4b
     5P 1a 2a 2b 3a 2c 2d 4a 6a 2e 4b

X.1      1  1  1  1  1  1  1  1  1  1
X.2      1 -1 -1  1  1  1 -1 -1 -1  1
X.3      1 -1  1  1  1 -1 -1  1  1 -1
X.4      1  1 -1  1  1 -1  1 -1 -1 -1
X.5      2  . -2 -1  2  .  .  1 -2  .
X.6      2  .  2 -1  2  .  . -1  2  .
X.7      3 -1 -3  . -1  1  1  .  1 -1
X.8      3 -1  3  . -1 -1  1  . -1  1
X.9      3  1 -3  . -1 -1 -1  .  1  1
X.10     3  1  3  . -1  1 -1  . -1 -1
附录1、点群特征标表
1、无轴群
2、C_n群（C_2、C_3、C_4、C_5、C_6、C_7、C_8）
循环群C_3的特征标表：
(1,0) (1,0) (1,0)
(1,0) (-0.5,0.866025) (-0.5,-0.866025)
(1,0) (-0.5,-0.866025) (-0.5,0.866025)
3、D_n群（D_2、S_3=D_3、D_4、D_5、D_6、C_7、C_8）
C_2×C_2=D_2=V_4的特征标表：
1,1,1,1
1,1,-1,-1
1,-1,1,-1
1,-1,-1,1

D_3的特征标表：
1,t,e
χ_1,1,1,1
χ_2,1,-1,1
θ,2,0,-1
D_4的特征标表（也是Q_8的特征标表）

1,1,1,1,1
1,1,1,-1,-1
1,-1,1,1,-1
1,-1,1,-1,1
2,0,-2,0,0
4、C_nv群（C_2v、C_3v、C_4v、C_5v、C_6v）
C_3v=D_3
1,1,1
1,1,-1
2,-1,0
C_4v=D_8
1,1,1,1,1
1,1,1,-1,-1
1,-1,1,1,-1
1,-1,1,-1,1
2,0,-2,0,0
C_5v=D_5
p=2cos(2pi/5)=(sqrt(5)-1)/2
p^(-1)=-2cos(4pi/5)=(sqrt(5)+1)/2
1,1,1,1
1,1,1,-1
2,p,-p^(-1),0
2,-p^(-1),p,0
5、C_nh群（C_2h、C_3h、C_4h、C_5h、C_6h）
GAP4[8,2]=C_4h=C_2×C_4的特征标表：
gap> g:=DirectProduct(CyclicGroup(4),CyclicGroup(2));;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT60

     2  3  3  3  3  3  3  3  3

       1a 4a 2a 2b 4b 4c 2c 4d

X.1     1  1  1  1  1  1  1  1
X.2     1 -1  1  1 -1 -1  1 -1
X.3     1  1  1 -1  1 -1 -1 -1
X.4     1 -1  1 -1 -1  1 -1  1
X.5     1  A -1  1 -A  A -1 -A
X.6     1 -A -1  1  A -A -1  A
X.7     1  A -1 -1 -A -A  1  A
X.8     1 -A -1 -1  A  A  1 -A

A = E(4)
  = Sqrt(-1) = i
C_2×C_4=U20有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，0个8阶元
模20的狄利克雷特征
http://www.di-mgt.com.au/cgi-bin/dirichlet.cgi?k=20&submit=+Go+
Dirichlet characters modulo 20
k = 20, φ(k) = 8, (Z/kZ)* ? C4 x C2, generators = 3,19
G={1,3,7,9,11,13,17,19}, λ = 4, w2 = -1, w = exp(πi/2)
X(n) mod 20 n 1 3 7 9 11 13 17 19
X1(n) 1 1 1 1 1 1 1 1
X2(n) 1 i -i -1 -1 -i i 1
X3(n) 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
X4(n) 1 -i i -1 -1 i -i 1
X5(n) 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
X6(n) 1 i -i -1 1 i -i -1
X7(n) 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
X8(n) 1 -i i -1 1 -i i -1
X(n) mod 20
------------------------------
n       1  3  7  9 11 13 17 19
------------------------------
X_1(n)  1  1  1  1  1  1  1  1
X_2(n)  1  i -i -1 -1 -i  i  1
X_3(n)  1 -1 -1  1  1 -1 -1  1
X_4(n)  1 -i  i -1 -1  i -i  1
X_5(n)  1  1  1  1 -1 -1 -1 -1
X_6(n)  1  i -i -1  1  i -i -1
X_7(n)  1 -1 -1  1 -1  1  1 -1
X_8(n)  1 -i  i -1  1 -i  i -1
------------------------------?
C_5h=C_10的特征标表：
(1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0)
(1,0) (0.809017,0.587785) (0.309017,0.951057) (-0.309017,0.951057) (-0.809017,0.587785) (-1,0) (-0.809017,-0.587785) (-0.309017,-0.951057) (0.309017,-0.951057) (0.809017,-0.587785)
(1,0) (0.309017,0.951057) (-0.809017,0.587785) (-0.809017,-0.587785) (0.309017,-0.951057) (1,-5.55112e-017) (0.309017,0.951057) (-0.809017,0.587785) (-0.809017,-0.587785) (0.309017,-0.951057)
(1,0) (-0.309017,0.951057) (-0.809017,-0.587785) (0.809017,-0.587785) (0.309017,0.951057) (-1,1.66533e-016) (0.309017,-0.951057) (0.809017,0.587785) (-0.809017,0.587785) (-0.309017,-0.951057)
(1,0) (-0.809017,0.587785) (0.309017,-0.951057) (0.309017,0.951057) (-0.809017,-0.587785) (1,-5.55112e-017) (-0.809017,0.587785) (0.309017,-0.951057) (0.309017,0.951057) (-0.809017,-0.587785)
(1,0) (-1,0) (1,-5.55112e-017) (-1,1.66533e-016) (1,-5.55112e-017) (-1,1.66533e-016) (1,-1.11022e-016) (-1,1.11022e-016) (1,-1.11022e-016) (-1,1.11022e-016)
(1,0) (-0.809017,-0.587785) (0.309017,0.951057) (0.309017,-0.951057) (-0.809017,0.587785) (1,-1.11022e-016) (-0.809017,-0.587785) (0.309017,0.951057) (0.309017,-0.951057) (-0.809017,0.587785)
(1,0) (-0.309017,-0.951057) (-0.809017,0.587785) (0.809017,0.587785) (0.309017,-0.951057) (-1,1.11022e-016) (0.309017,0.951057) (0.809017,-0.587785) (-0.809017,-0.587785) (-0.309017,0.951057)
(1,0) (0.309017,-0.951057) (-0.809017,-0.587785) (-0.809017,0.587785) (0.309017,0.951057) (1,-1.11022e-016) (0.309017,-0.951057) (-0.809017,-0.587785) (-0.809017,0.587785) (0.309017,0.951057)
(1,0) (0.809017,-0.587785) (0.309017,-0.951057) (-0.309017,-0.951057) (-0.809017,-0.587785) (-1,1.11022e-016) (-0.809017,0.587785) (-0.309017,0.951057) (0.309017,0.951057) (0.809017,0.587785)
gap> pi := 4*Atan(1.0);Exp(2*pi/5);Cos(2*pi/5);Sin(2*pi/5);Cos(6*pi/5);Sin(6*pi/5);
3.14159
3.51359
0.309017
0.951057
-0.809017
-0.587785
gap> g:=CyclicGroup(10);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT59

      2  1   1  1   1  1  1  1   1  1   1
      5  1   1  1   1  1  1  1   1  1   1

        1a 10a 5a 10b 5b 2a 5c 10c 5d 10d

X.1      1   1  1   1  1  1  1   1  1   1
X.2      1  -1  1  -1  1 -1  1  -1  1  -1
X.3      1   A  B  /B /A  1  A   B /B  /A
X.4      1  -A  B -/B /A -1  A  -B /B -/A
X.5      1   B /A   A /B  1  B  /A  A  /B
X.6      1  -B /A  -A /B -1  B -/A  A -/B
X.7      1  /B  A  /A  B  1 /B   A /A   B
X.8      1 -/B  A -/A  B -1 /B  -A /A  -B
X.9      1  /A /B   B  A  1 /A  /B  B   A
X.10     1 -/A /B  -B  A -1 /A -/B  B  -A

A = E(5)^3
B = E(5)
6、D_nh群（D_2h、D_3h、D_4h、D_5h、D_6h、D_8h）
7、D_nd群（D_2d、D_3d、D_4h、D_5d、D_6d）
8、S_n群（S_4、S_6、S_8）
9、立方体群（A_4=T、T_h、S_4=T_d、O、O_h）
A_4的特征标表：
1,2,5,5*5
χ_0,1,1,1,1
χ_1,1,1,ω,ω^2
χ_2,1,1,ω^2,ω
ψ,3,-1,0,0
这里ω=e^(2*2pii/3)=1/2+isqrt(2)/2。
10、线性分子的C_∞v群和D_∞v群（C_∞v、D_∞v）
11、二十面体群I_h
gap> G:=DirectProduct(AlternatingGroup(5),CyclicGroup(2));IdGroup(G);cl:=ConjugacyClasses(G);len:=Size(cl);for i in [1..len] do Print(Size(cl[i]),","); od;Print("\n");for i in [1..len] do Print(IdGroup(Centralizer(cl[i])),","); od;
<group of size 120 with 3 generators>
[ 120, 35 ]
[ DirectProductElement( [ (), <identity> of ... ] )^G, DirectProductElement( [ (), f1 ] )^G,
  DirectProductElement( [ (3,4,5), <identity> of ... ] )^G, DirectProductElement( [ (3,4,5), f1 ] )^G,
  DirectProductElement( [ (2,3)(4,5), <identity> of ... ] )^G, DirectProductElement( [ (2,3)(4,5), f1 ] )^G,
  DirectProductElement( [ (1,2,3,4,5), <identity> of ... ] )^G, DirectProductElement( [ (1,2,3,4,5), f1 ] )^G,
  DirectProductElement( [ (1,2,3,5,4), <identity> of ... ] )^G, DirectProductElement( [ (1,2,3,5,4), f1 ] )^G ]
10
1,1,20,20,15,15,12,12,12,12,
[ 120, 35 ],[ 120, 35 ],[ 6, 2 ],[ 6, 2 ],[ 8, 5 ],[ 8, 5 ],[ 10, 2 ],[ 10, 2 ],[ 10, 2 ],[ 10, 2 ],
gap> g:=DirectProduct(AlternatingGroup(5),CyclicGroup(2));;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT58

      2  3  3  1  1  3  3  1   1  1   1
      3  1  1  1  1  .  .  .   .  .   .
      5  1  1  .  .  .  .  1   1  1   1

        1a 2a 3a 6a 2b 2c 5a 10a 5b 10b
     2P 1a 1a 3a 3a 1a 1a 5b  5b 5a  5a
     3P 1a 2a 1a 2a 2b 2c 5b 10b 5a 10a
     5P 1a 2a 3a 6a 2b 2c 1a  2a 1a  2a
     7P 1a 2a 3a 6a 2b 2c 5b 10b 5a 10a

X.1      1  1  1  1  1  1  1   1  1   1
X.2      1 -1  1 -1  1 -1  1  -1  1  -1
X.3      3 -3  .  . -1  1  A  -A *A -*A
X.4      3 -3  .  . -1  1 *A -*A  A  -A
X.5      3  3  .  . -1 -1  A   A *A  *A
X.6      3  3  .  . -1 -1 *A  *A  A   A
X.7      4  4  1  1  .  . -1  -1 -1  -1
X.8      4 -4  1 -1  .  . -1   1 -1   1
X.9      5  5 -1 -1  1  1  .   .  .   .
X.10     5 -5 -1  1  1 -1  .   .  .   .

A = -E(5)-E(5)^4
  = (1-Sqrt(5))/2 = -b5