对数线性模型之一(逻辑回归), 广义线性模型学习总结

经典线性模型自变量的线性预测就是因变量的估计值。 广义线性模型：自变量的线性预测的函数是因变量的估计值。常见的广义线性模型有：probit模型、poisson模型、对数线性模型等等。对数线性模型里有：logistic regression、Maxinum entropy。本篇是对逻辑回归的学习总结，以及广义线性模型导出逻辑回归的过程。下一篇将是对最大熵模型的学习总结。本篇介绍的大纲如下：

1、逻辑斯蒂分布，logit转换

2、在二分类问题中，为什么弃用传统的线性回归模型，改用逻辑斯蒂回归？

3、逻辑回归模型的求解过程？

4、实际应用逻辑回归时数据预处理的经验总结。但经验有限，如果有哪位网友这块经验丰富，忘指教，先谢过

5、为什么我们在实际中，经典线性模型的优化目标函数是最小二乘，而逻辑回归则是似然函数

6、从最根本的广义线性模型角度，导出经典线性模型以及逻辑回归

1、逻辑斯蒂分布，logit转换

 一个连续随机变量X，如果它的分布函数形式如下，则X服从逻辑斯蒂分布，F（x）的值在0~1之间，它的的图形是一条S型曲线。

2、在二分类问题中，为什么弃用传统的线性回归模型，改用逻辑斯蒂回归？

      线性回归用于二分类时，首先想到下面这种形式，p是属于类别的概率：

     

      但是这时存在的问题是：

      1）等式两边的取值范围不同，右边是负无穷到正无穷，左边是[0,1]，这个分类模型的存在问题

      2）实际中的很多问题，都是当x很小或很大时，对于因变量P的影响很小，当x达到中间某个阈值时，影响很大。即实际中很多问题，概率P与自变量并不是直线关系。

      所以，上面这分类模型需要修整，怎么修正呢？统计学家们找到的一种方法是通过logit变换对因变量加以变换，具体如下：

        

      

        从而，        

       

        这里的P完全解决了上面的两个问题。

3、逻辑回归模型的求解过程？

      1）求解方式

        逻辑回归中，Y服从二项分布，误差服从二项分布，而非高斯分布，所以不能用最小二乘进行模型参数估计，可以用极大似然估计来进行参数估计。

      2）似然函数、目标函数

        严谨一点的公式如下：

        

        似然函数如下：

        

        对数似然函数，优化目标函数如下：

        

         整个逻辑回归问题就转化为求解目标函数，即对数似然函数的极大值的问题，即最优化问题，可采用梯度下降法、拟牛顿法等等。

4、实际应用逻辑回归时数据预处理的经验总结，但经验有限，如果有哪位网友这块经验丰富，忘指教，先谢过

      1）枚举型的特征直接进行binary

      2）数值型特征，可以：标准化、根据分布进行binary

      3）进行pairwise

5、为什么我们在实际中，经典线性模型的优化目标函数是最小二乘，而逻辑回归则是似然函数

      下面公式直接从Ng notes里面复制过来。

     1） 经典线性模型的满足下面等式：

      

       这里有个假设，即最后这个误差扰动项独立同分布于均值为0的正态分布，即：

      

      从而：

      

      由于有上面的假设，从而就有下面的似然函数：

      

      从而这线性回归的问题就可转化为最大化下面的对数似然估计，由于下面公式前面的项是常数，所以这个问题等价于最小化下面等式中的最后一项，即least mean squares。

      

      2）逻辑斯蒂回归中，因变量y不再是连续的变量，而是二值的{0,1}，中间用到logit变换，将连续性的y值通过此变换映射到比较合理的0~1区间。在广义线性回归用于分类问题中，也有一个假设（对应于上面回归问题中误差项独立同分布于正态分布），其中h(x)是logistic function

      

      即，给定x和参数，y服从二项分布，上面回归问题中，给定x和参数，y服从正态分布。从而。

      

            

      问题不同（一个是分类、一个是回归）对应假设也就不同，决定了logistic regression问题最优化目标函数是上面这项，而非回归问题中的均方误差LMS。

6、从最根本的广义线性模型角度，导出经典线性模型以及逻辑回归

     1）指数家族

      

        当固定T时，这个分布属于指数家族中的哪种分布就由a和b两个函数决定。下面这种是伯努利分布，对应于逻辑回归问题

                                   

          注：从上面可知 ，从而，在后面用GLM导logistic regression的时候会用到这个sigmoid函数。

        下面这种是高斯分布，对应于经典线性回归问题

                

      2）GLM（广义线性模型）

        指数家族的问题可以通过广义线性模型来解决。如何构建GLM呢？在给定x和参数后，y的条件概率p(y|x,θ) 需要满足下面三个假设：

        assum1)      y | x; θ ∼ ExponentialFamily(η).

        assum2)      h(x) = E[y|x]. 即给定x，目标是预测T(y)的期望，通常问题中T(y)=y

        assum3)       η = θTx，即η和x之间是线性的

       3）经典线性回归、逻辑回归

       经典线性回归：预测值y是连续的，假设给定x和参数，y的概率分布服从高斯分布（对应构建GLM的第一条假设）。由上面高斯分布和指数家族分布的对应关系可知，η=µ，根据构建GLM的第2、3条假设可将model表示成：

      
        

        逻辑回归：以二分类为例，预测值y是二值的{1,0}，假设给定x和参数，y的概率分布服从伯努利分布（对应构建GLM的第一条假设）。由上面高斯分布和指数家族分布的对应关系可知，，根据构建GLM的第2、3条假设可model表示成：

        

        可以从GLM这种角度理解为什么logistic regression的公式是这个形式~

      参考资料：

      [1] NG的lecture notes，http://cs229.stanford.edu/notes/cs229-notes1.pdf

      [2] 其他网络资源