微积分学习笔记三：定积分

1、介值定理：设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，那么对于任意的u， f(a)<=u<=f(b)或者f(b)<=u<=f(a)，在[a,b]上存在c使得f(c)=u。

2、积分中值定理：如果函数f(x)在[a,b]连续，那么在[a,b]上至少存在一点ξ，使得

\[\int_{a}^{b}f\left(x \right )dx=f\left(\xi \right )\left(b-a \right ),\xi\in [a,b]\]

证明：由于f(x)在[a,b]上连续，那么存在最大值最小值M，m。所以$m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f\left(x \right )dx\leq M(b-a)$，即

\[m\leq \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x \right )dx\leq M\]

由介值定理，在[a,b]上存在一点ξ使得$f(\xi)= \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x \right )dx$，即

\[\int_{a}^{b}f\left(x \right )dx=f\left(\xi \right )\left(b-a \right ),\xi\in [a,b]\]

3、设f(t)在[a,b]上连续，那么函数$P(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt,x\in [a,b]$在[a,b]上可导，且

\[P^{^{'}}(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\]

证明： 设有$\Delta x$，满足$x+\Delta x\in[a,b]$，那么P(x)的增量

$\Delta P(x)=P(x+\Delta x)-P(x)=\int_{a}^{x+\Delta x}f(t)dt-\int_{a}^{x}f(t)dt=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt$

由积分中值定理，在$[x,x+\Delta x]$中间存在ξ，使得

\[\Delta P(x)=\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt=f(\xi)[(x+\Delta x)-x]=f(\xi)\Delta x\]

即$\frac{\Delta P(x)}{\Delta x}=f(\xi)$，所以当$\Delta x \rightarrow 0$时，$x+\Delta x \rightarrow x$，$\xi \rightarrow x$，所以

\[\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta P(x)}{\Delta x}=\lim_{\xi \rightarrow x}f(\xi)=f(x)\]

即

\[P^{^{'}}(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\]

4、牛顿-莱布尼茨公式:设f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)的一个原函数，那么

\[\int_{a}^{b}f(x)dx=F(x)\mid _{a}^{b}=F(b)-F(a)\]

证明：由(3)可得,函数$P(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt,x\in [a,b]$也是f(x)的一个原函数，所以F(x)与P(x)最多差一个常数，令F(x)=P(x)+C，那么

$F(a)=P(a)+C=\int_{a}^{a}f(t)dt+C=C$

$F(b)=P(b)+C=\int_{a}^{b}f(t)dt+C=\int_{a}^{b}f(t)dt+F(a)$

所以$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

5、反常积分的计算方式：

$(1)\int_{a}^{oo}f(x)dx=\lim_{b\rightarrow oo}\int_{a}^{b}f(x)dx$

$(2)\int_{-oo}^{b}f(x)dx=\lim_{a\rightarrow -oo}\int_{a}^{b}f(x)dx$

$(3)\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\xi\rightarrow 0^{+}}\int_{a}^{b-\xi}f(x)dx$

$(4)\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\xi\rightarrow 0^{-}}\int_{a+\xi}^{b}f(x)dx$

6 、$\Gamma$函数：$\Gamma (r)=\int_{0}^{+oo}x^{r-1}e^{-x}dx,(r>0)$

(1)$\Gamma (r+1)=r\Gamma(r)$

证明：$\Gamma (r+1)=\int_{0}^{+oo}x^{r}e^{-x}dx$

$=-x^{r}e^{-x}|^{+oo}_{0}+\int_{0}^{+oo}rx^{r-1}e^{-x}dx$

$=r\int_{0}^{+oo}x^{r-1}e^{-x}dx=r\Gamma (r)$

(2)$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt(\pi),\Gamma (1)=1$,$\Gamma (n+1)=n$!