一个纠结了我N久的 数集划分问题

记得在TOJ上曾经有一道题，大致意思如下：

 

将2N个整数平均分为两堆，每堆N个，使得两堆和的差值最小，求这个差值。

 

当时自己很自豪的用“随机贪心”的思想写出来的程序在OJ上居top1，（44K 0MS）

看着一大堆用DP AC的选手们几百K的内存使用量+几十毫秒的计算速度，小得意了一把。

 

该随机贪心思想如下：

 

1 将2N个数随意分为两堆，称为A、B。

2 若存在 a in A,b in B，交换a、b使得sum(A) 与 sum(B)差值更小，则交换。

3 若2不存在，跳出，否则重复2

4 得到最小 sum差

 

之后我自己想了一下，假如题目改为这样呢？——

 

将N个整数分为两堆，每堆个数不固定，使得两堆和差值最小，求这个差值。

 

然后我和N个同学讨论了这个问题。。未果，最后得出结论：这是一个NP问题……

我还是用随机贪心可以得出一个近似解——

 

0 R=正无穷

1 将N个数随机分为两堆，A、B

2 若存在a in A或者b in B，将a,b放到另一个集合中，能使得sum(A) 与 sum(B)差值更小，则调换。

3 若2不存在，跳出，否则重复2

4 得到单次最小 sum差K，若比sum差R小，则R = K

5 随机次数++

6 若随机次数>N(这个值越高，越趋近正确解）结束，输出R

7 跳到1

 

看上去觉得不错了，而且理论上N越大，解就越趋近正确。

 

我一度认为这就是一个好的解法。。直到同学WL提出来有更优解法……

 

1 将N个数排序，称集合A

2 取出A中最大两个数a,b，相减得c

3 a,b出集合，c进集合

4 若A只有一个元素跳出，否则跳到2

5 A中最后一个元素就是正确解

 

我靠~ 想了想，确实，这个问题居然就能用一个普通的贪心算法解决……

归根到底还是一个数学问题，若不平均划分，则可以这样“等价消除”各数字。（此处证明略，很显然……）

 

所以看来未必看上去"牛X"的算法就牛X，一切算法问题还是应该归根于其数学本质上的。

——时刻用这句话警诫自己！已经在此问题上犯了无数次错误了。

 

PS：该问题我曾出题到公司的天津大学/南开大学校园招聘笔试题上，当场给出第一题近似解的只有一位硕士生。。第二题没人做。。（可能时间不够）