整数划分算法原理与实现

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整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式，且这组数中的最大加数不大于n。
如6的整数划分为

6
5 + 1
4 + 2, 4 + 1 + 1
3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

共11种。下面介绍一种通过递归方法得到一个正整数的划分数。

递归函数的声明为 int split(int n, int m);其中n为要划分的正整数，m是划分中的最大加数(当m > n时，最大加数为n)，
1 当n = 1或m = 1时，split的值为1，可根据上例看出，只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;

2 下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系
(1) m > n
在整数划分中实际上最大加数不能大于n，因此在这种情况可以等价为split(n, n);
可用程序表示为if(m > n) return split(n, n);
(2) m = n
这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) + 1，从以上例子中可以看出，就是最大加
数为6和小于6的划分之和
用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);
(3) m < n
这是最一般的情况，在划分的大多数时都是这种情况。
从上例可以看出，设m = 4，那split(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。
因此，split(n, m)可表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)

根据以上描述，可得源程序如下：

<!--<br /> <br /> Code highlighting produced by Actipro CodeHighlighter (freeware)<br /> http://www.CodeHighlighter.com/<br /> <br /> --> #include < stdio.h >

int split( int n, int m)
{
if (n < 1 || m < 1 ) return 0 ;
if (n == 1 || m == 1 ) return 1 ;
if (n < m) return split(n,n);
if (n == m) return (split(n,m - 1 ) + 1 );
if (n > m) return (split(n,m - 1 ) + split((n - m),m));
}

int main()
{
printf( " 12的划分数:%d " ,split( 12 , 12 ));
return 0 ;
}

将正整数划分成连续的正整数之和
如15可以划分成4种连续整数相加的形式：
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5

首先考虑一般的形式，设n为被划分的正整数，x为划分后最小的整数，如果n有一种划分，那么
结果就是x,如果有两种划分，就是x和x x + 1， 如果有m种划分，就是 x 、x x + 1 、 x x + 1 x + 2 、... 、x x + 1 x + 2 ... x + m - 1
将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n，i为当前划分后相加的正整数个数。
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。
如上例，当i = 1时，即划分成一个正整数时，x = 15， 当i = 2时， x = 7。
当x = 3时，x = 4， 当x = 4时，4/9，不是正整数，因此，15不可能划分成4个正整数相加。
当x = 5时，x = 1。

这里还有一个问题，这个i的最大值是多少？不过有一点可以肯定，它一定比n小。我们可以做一个假设，
假设n可以拆成最小值为1的划分，如上例中的1 2 3 4 5。这是n的最大数目的划分。如果不满足这个假设，
那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) / 2 <= n，即当i满足
这个公式时n才可能被划分。

综合上述，源程序如下

<!--<br /> <br /> Code highlighting produced by Actipro CodeHighlighter (freeware)<br /> http://www.CodeHighlighter.com/<br /> <br /> --> int split1( int n)
{
int i,j,m = 0 ,x,t1,t2;
// 在这里i+1之所以变为i-1，是因为i*(i-1)/2这个式子在下面多次用到，
// 为了避免重复计算，因此将这个值计算完后保存在t1中。并且将<=号变为了<号。
for (i = 1 ;(t1 = i * (i - 1 ) / 2 ) < n;i ++ )
{
t2 = (n - t1);
x = t2 / i;
if (x <= 0 ) break ;
if ((n - t1) % i == 0 )
{
printf( " %d " ,x);
for (j = 1 ;j < i;j ++ )
printf( " %d " ,x + j);
printf( " \n " );
m ++ ;
}
}
return m;
}

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