lambda Calculus

发现了一个好的blog：Good Math/Bad Math，里面关于lambda calculus的讲解真是佩服，只要耐心足够，有一定的抽象能力，从头读到尾基本上就看理解lambda了，起码比维基百科上容易理解的多。

    Alonzo Church的lambda的核心思想是一切计算都可用lambda表示，就连最基本的number也是用lambda表示，进而衍生出choice，递归等复杂运算模型。

    lambda演算中number用church numerals表示：

    0：lambda s z . z

    1：lambda s z . s z

    2：lambda s z . s (s z)

两个数相加add的lambda运算式是：

let add = lambda s z x y . x s (y s z)

也可表示为：

let add = lambda x y. (lambda s z . (x s (y s z)))

 

从上面几个lambda的运算式可以简单的证明2+3=5，blog上有证明过程。

类似，Boolean和choice也有相应的lambda：

let TRUE = lambda x y . x

let FALSE = lambda x y . y

let IfThenElse = lambda cond true_expr false_expr . cond true_expr false_expr

let BoolAnd = lambda x y .x y FALSE

let BoolOr = lambda x y. x TRUE y

let BoolNot = lambda x . x FALSE TRUE

 

递归则有点复杂，在lambda表达式中仅可引用绑定变量和自由变量，引用自己则不可以，但这也难不倒天才的church。

church用了Y combinator：let Y = lambda y . (lambda x . y (x x)) (lambda x . y (x x))

Y的最诡异特性就是自己生成自己：(Y Y) = Y (Y Y)

用Y表示fib递归函数如下：

let metafact = lambda fact . (lambda n . IsZero n 1 (Mult n (fact (Pred n))))

fact n = (metafact metafact) n

 

 

lambda对于FP语言有着深远的影响，如最早的lisp。如果看过SICP后，对lambda和FP的理解会更深刻一些，如FP中常用的pairs用lambda可表示为（scheme版本）：

(define (cons x y)
  (lambda (m) (m x y)))
(define (car z)
  (z (lambda (p q) p)))
(define (cdr z)
  (z (lambda (p q) q)))

这也符合church的思想，一切皆可用lambda表示，SICP中也略提到了类似观点，SICP中在data抽象一章也说到data的本质，data到底是什么？ OO语言中的Object的本质又是什么呢？看了SICP就明白为什么FP的很多人不喜欢OO，毕竟从lisp的角度看OO，Object仅仅是lambda而已。