张一飞 求N!的高精度算法

摘要：张一飞是3届(2000,2001,2002)IOI国家集训队的成员， 第14届（2002年，韩国龙仁市庆熙大学） 国际信息学奥林匹克竞赛金牌获得者，本文是张一飞2001的论文，原文标题求N!的高精度算法。

本文是张一飞2001年写的论文，原文可从http://oibh.kuye.cn/download/thesis/thesis2001_zhangyifei.zip 处下载

求 N! 的高精度算法

本文中的算法主要针对 Pascal 语言

这篇文章的内容

你了解高精度吗？

你曾经使用过哪些数据结构？

你仔细思考过如何优化算法吗？

在这里，你将看到怎样成倍提速求N!的高精度算法

Pascal 中的标准整数类型

数据类型	值域
Shortint	-128 ～ 127
Byte	0 ～ 255
Integer	-32768 ～ 32768
Word	0 ～ 65535
LongInt	- 2147483648 ～ 2147483647
Comp	- 9.2e18 ～ 9.2e18

Comp 虽然属于实型，实际上是一个64位的整数

高精度算法的基本思想

Pascal 中的标准整数类型最多只能处理在 -2 ⁶³ ～ 2 ⁶³ 之间的整数。如果要支持更大的整数运算，就需要使用高精度

高精度算法的基本思想，就是将无法直接处理的大整数，分割成若干可以直接处理的小整数段，把对大整数的处理转化为对这些小整数段的处理

数据结构的选择

每个小整数段保留尽量多的位

使用 Comp 类型

采用二进制表示法

每个小整数段保留尽量多的位

一个例子：计算两个 15 位数的和

Ø 方法一

• 分为15个小整数段，每段都是1位数，需要15次1位数加法

Ø 方法二

• 分为5个小整数段，每段都是3位数，需要5次3位数加法

Ø 方法三

• Comp 类型可以直接处理15位的整数，故1次加法就可以了

Ø 比较

• 用Integer计算1位数的加法和3位数的加法是一样快的

• 故方法二比方法一效率高

• 虽然对Comp的操作要比Integer慢，但加法次数却大大减少

• 实践证明，方法三比方法二更快

使用 Comp 类型

高精度运算中，每个小整数段可以用 Comp 类型表示

Comp 有效数位为 19 ～ 20 位

求两个高精度数的和，每个整数段可以保留 17 位

求高精度数与不超过 m 位整数的积，每个整数段可以保留 18–m 位

求两个高精度数的积，每个整数段可以保留 9 位

如果每个小整数段保留 k 位十进制数，实际上可以认为其只保存了 1 位 10 ^k 进制数，简称为高进制数 ，称 1 位高进制数为单精度数

采用二进制表示法

采用二进制表示，运算过程中时空效率都会有所提高，但题目一般需要以十进制输出结果，所以还要一个很耗时的进制转换过程。因此这种方法竞赛中一般不采用，也不在本文讨论之列.

算法的优化

高精度乘法的复杂度分析

连乘的复杂度分析

设置缓存

分解质因数求阶乘

二分法求乘幂

分解质因数后的调整

高精度乘法的复杂度分析

计算n位高进制数与 m 位高进制数的积

Ø 需要n*m次乘法

Ø 积可能是n+m – 1 或n+m位高进制数

连乘的复杂度分析（ 1 ）

一个例子：计算 5*6*7*8

Ø 方法一：顺序连乘

• 5*6=30 ，1*1=1次乘法

• 30*7=210 ，2*1=2次乘法

• 210*8=1680 ，3*1=3次乘法 共6次乘法

Ø 方法二：非顺序连乘

• 5*6=30 ，1*1=1次乘法

• 7*8=56 ，1*1= 1次乘法

• 30*56=1680 ，2*2=4次乘法 共6次乘法

连乘的复杂度分析（ 2 ）

若 “ n 位数*m位数=n+m位数 ” ，则n个单精度数，无论以何种顺序相乘，乘法次数一定为n(n-1)/2次

Ø 证明：

• 设F(n)表示乘法次数，则F(1)=0，满足题设

• 设k<n时，F(k)=k(k-1)/2，现在计算F(n)

• 设最后一次乘法计算为 “ k 位数*(n-k)位数 ” ，则

• F(n)=F(k)+F(n-k)+k (n-k)=n(n-1)/2 （与k的选择无关）

设置缓存（ 1 ）

一个例子：计算9*8*3*2

Ø 方法一：顺序连乘

• 9*8=72 ，1*1=1次乘法

• 72*3=216 ，2*1=2次乘法

• 216*2=432 ，3*1=3次乘法

Ø 方法二：非顺序连乘

• 9*8=72 ，1*1=1次乘法

• 3*2=6 ，1*1=1次乘法

• 72*6=432 ，2*1=2次乘法

共6次乘法

特点： n 位数 *m 位数可能是 n+m-1 位数

特点：n位数*m位数可能是n+m-1位数

设置缓存（ 2 ）

考虑k+t个单精度数相乘a1*a2* … *ak*ak+1* … *ak+t

Ø 设a1*a2* … *ak 结果为m位高进制数（假设已经算出）

Ø ak+1* … *ak+t 结果为1位高进制数

Ø 若顺序相乘，需要t次 “ m 位数*1位数 ” ，共mt次乘法

Ø 可以先计算ak+1* … *ak+t ，再一起乘，只需要m+t次乘法

在设置了缓存的前提下，计算m个单精度数的积，如果结果为n位数，则乘法次数约为n(n–1)/2次，与m关系不大

– 设 S=a 1 a 2 … a m ， S 是 n 位高进制数 – 可以把乘法的过程近似看做，先将这 m 个数分为 n 组，每组的积仍然是一个单精度数，最后计算后面这 n 个数的积。时间主要集中在求最后 n 个数的积上，这时基本上满足 “n 位数 *m 位数 =n+m 位数 ” ，故乘法次数可近似的看做 n(n-1)/2 次

设置缓存（ 3 ）

缓存的大小

Ø 设所选标准数据类型最大可以直接处理 t 位十进制数

Ø 设缓存为 k 位十进制数，每个小整数段保存 t–k 位十进制数

Ø 设最后结果为 n 位十进制数，则乘法次数约为

Ø k/(n–k) ∑ _(i=1..n/k) i=(n+k)n/(2k(t–k)) ，其中 k 远小于 n

Ø 要乘法次数最少，只需 k (t–k) 最大，这时 k=t/2

Ø 因此，缓存的大小与每个小整数段大小一样时，效率最高

Ø 故在一般的连乘运算中，可以用Comp作为基本整数类型，每个小整数段为9位十进制数，缓存也是9位十进制数

分解质因数求阶乘

例： 10!=2 ⁸ *3 ⁴ *5 ² *7

Ø n! 分解质因数的复杂度远小于 nlogn ，可以忽略不计

Ø 与普通算法相比，分解质因数后，虽然因子个数 m 变多了，但结果的位数 n 没有变，只要使用了缓存，乘法次数还是约为 n(n-1)/2 次

Ø 因此，分解质因数不会变慢（这也可以通过实践来说明）

Ø 分解质因数之后，出现了大量求乘幂的运算，我们可以优化求乘幂的算法。这样，分解质因数的好处就体现出来了

二分法求乘幂

二分法求乘幂，即：

Ø a ²ⁿ⁺¹ =a ²ⁿ *a

Ø a ²ⁿ =(a ⁿ ) ²

Ø 其中， a 是单精度数

复杂度分析

Ø 假定 n 位数与 m 位数的积是 n+m 位数

Ø 设用二分法计算 a ⁿ 需要 F(n) 次乘法

Ø F(2n)=F(n)+n ² ， F(1)=0

Ø 设 n=2 ^k ，则有 F(n)=F(2 ^k )= ∑ _(i=0..k–1) 4 ⁱ =(4 ^k –1)/3=(n ² –1)/3

与连乘的比较

Ø 用连乘需要 n(n-1)/2 次乘法，二分法需要 (n ² –1)/3

Ø 连乘比二分法耗时仅多 50%

Ø 采用二分法，复杂度没有从 n ² 降到 nlogn

二分法求乘幂之优化平方算法

怎样优化

Ø (a+b) ² =a ² +2ab+b ²

Ø 例： 12345 ² =123 ² *10000+45 ² +2*123*45*100

Ø 把一个 n 位数分为一个 t 位数和一个 n-t 位数，再求平方

怎样分

Ø 设求 n 位数的平方需要 F(n) 次乘法

Ø F(n)=F(t)+F(n-t)+t(n-t) ， F(1)=1

Ø 用数学归纳法，可证明 F(n) 恒等于 n(n+1)/2

Ø 所以，无论怎样分，效率都是一样

Ø 将 n 位数分为一个 1 位数和 n–1 位数，这样处理比较方便

二分法求乘幂之复杂度分析

复杂度分析

Ø 前面已经求出 F(n)=n(n+1)/2 ，下面换一个角度来处理

Ø S ² =( ∑ _{(0 ≤ i<n)} a _i 10 ⁱ ) ² = ∑ _{(0 ≤ i<n)} a _i ² 10 ²ⁱ +2 ∑ _{(0 ≤ i<j<n)} a _i a _j 10 ^i+j

Ø 一共做了 n+C(n,2)=n(n+1)/2 次乘法运算

Ø 普通算法需要 n ² 次乘法，比改进后的慢 1 倍

改进求乘幂的算法

Ø 如果在用改进后的方法求平方，则用二分法求乘幂，需要(n+4)(n – 1)/6 次乘法，约是连乘算法n(n – 1)/2 的三分之一

分解质因数后的调整（ 1 ）

为什么要调整

Ø 计算 S=2 ¹¹ 3 ¹⁰ ，可以先算 2 ¹¹ ，再算 3 ¹⁰ ，最后求它们的积

Ø 也可以根据 S=2 ¹¹ 3 ¹⁰ =6 ¹⁰ *2 ，先算 6 ¹⁰ ，再乘以 2 即可

Ø 两种算法的效率是不同的

分解质因数后的调整（ 2 ）

什么时候调整

Ø 计算 S=a ^x+k b ^x =(ab) ^x a ^k

Ø 当 k<xlog _a b 时，采用 (ab) ^x a ^k 比较好，否则采用 a ^x+k b ^x 更快

Ø 证明：

• 可以先计算两种算法的乘法次数，再解不等式，就可以得到结论

• 也可以换一个角度来分析。其实，两种算法主要差别在最后一步求积上。由于两种方法，积的位数都是一样的，所以两个因数的差越大，乘法次数就越小

• ∴当 a ^x b ^x –a ^k >a ^x+k –b ^x 时，选用 (ab) ^x a ^k ，反之，则采用 a ^x+k b ^x 。

• ∴ a ^x b ^x –a ^k >a ^x+k –b ^x

• ∴ (b ^x –a ^k )(a ^x +1)>0

• ∴ b ^x >a ^k

• 这时 k<xlog _a b

总结

内容小结

Ø 用Comp作为每个小整数段的基本整数类型

Ø 采用二进制优化算法

Ø 高精度连乘时缓存和缓存的设置

Ø 改进的求平方算法

Ø 二分法求乘幂

Ø 分解质因数法求阶乘以及分解质因数后的调整

应用

Ø 高精度求乘幂（平方）

Ø 高精度求连乘（阶乘）

Ø 高精度求排列组合

结束语

求N!的高精度算法本身并不难，但我们仍然可以从多种角度对它进行优化。

其实，很多经典算法都有优化的余地。我们自己编写的一些程序也不例外。只要用心去优化，说不准你就想出更好的算法来了。

也许你认为本文中的优化毫无价值。确实是这样，竞赛中对高精度的要求很低，根本不需要优化。而我以高精度算法为例，不过想谈谈 如何 优化一个算法。我想说明的只有一点 ：算法是可以 优化 的。

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