差分约束系统——建模与求解

    如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如：xj-xi<=bk，其中，1<=i,j<=n, 1<=k<=m。则称其为差分约束系统(System of difference constraints)。差分约束系统就是求解关于一组变量的不等式组的方法。

    求解差分约束系统，可以转化为图论中的单源最短路径问题。

    观察约束条件xj-xi<=bk，会发现它类似于最短路中的三角不等式d[u]<=d[v]+w[u,v](即d[u]-d[v]<=w[u,v])。因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边(i,j)，边权为bk。再增加一个源点s，s与所有的点相连，边权为0。对这个图，运行以s为起点的bellman-ford(或者spfa)，最终{d[i]}即为一组可行解。

　引理：设x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。

 

 

 

poj3159：发苹果问题。flymouse是班长，他需要给每个同学发一定数量的苹果，但是学生之间会有比较，有的学生(编号为a)认为某个学生b的苹果数不能超过他v个(Sb-Sa<=v)。flymouse的编号为1，现在要求满足学生要求，并且使S1 - Sn最大。

解：从a到b连接一条有向边，权值为v。以1为起始点，求到每个点的最短路径，最终dis[n]即为所求。

 

poj1364：有一个国王，它只会算连续的数的加法，假设一串数{a1,a2,...an}，给出条件si，ni，operator，ki，意思是从si到si+ni这段数的和>或者<ki。现在又n组这样的条件，判断这些条件是否存在矛盾。

解：设S[i]表示从串开头1到i的和，S[0]=0，则条件可转化为：S[ni+si] - S[si-1] > ki(or <)。由于S[i]均为整数，可以转化为：S[ni+si] - S[si-1] >= ki + 1(or <= ki-1)。先将条件全部转化为<=形式，再添加超级源点n+1，到其余各点连接一条边，权值为0。利用spfa判断负环的存在。

 

poj2983：有两个敌对势力，a方想弄清楚b方的n个防御站的位置，通过一些地下组织。地下组织提供多条情报，你要判断这些情报是否可靠。情报分为两种：P A B X：A站在B站北边X公里；V A B：A站在B站北边至少1公里，但具体多远不清楚。现在给出n个站和m条情报，判断这m条情报是否可靠。

解：设S[i]表示i站距离最南边的距离，S[0]=0，则情报可以转化为S[A]-S[B]<=X&&S[A]-S[B]>=X；S[A] - S[B]>=1。首先将这些不等式全部转化为<=，求最短路用bellmanford判断负环。

 

poj1201：给出n(n=50000)段连续的整数(整数均小于50000)，要求出一个最小的集合Z，至少包含第i段里面ci个数。

解：S[i]表示Z集合从0到i-1中取的整数的个数。对于段[a,b]取不小于c个数，则有：S[b+1]-S[a]>=c。显然，这是求最长路。（用spfa注意添加源点）

有关差分约束系统建模问题，可参考：http://blog.csdn.net/mindmb/archive/2010/12/08/6062203.aspx