生成函数(母函数)

生成函数,英文是Generating Function。恕本人不才,本文只介绍生成函数的其中一种用法。

生成函数是说,构造这么一个多项式函数g(x),使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数,我看到最多的是这样两句话:

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。”

2.“把离散数列和幂级数一 一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “

其实这两句话我也不算太懂。先放这里,说不定以后可能会慢慢理解吧。


还是先举个大客中的例子吧:

有1克、2克、3克、4克砝码各一枚,问你能称出哪几种重量?每种重量各有几种方案?

下面是用母函数解决这个问题的思路:

首先,我们用X表示砝码,X的指数表示砝码的重量。那么,如果用函数表示每个砝码可以称的重量,

1个1克的砝码可以用函数X^0 + X^1表示,

1个2克的砝码可以用函数X^0 + X^2表示,

依次类推。

如果我们把上面2个多项式相乘,可以得到X^0 + X^1 +X^2 +X^3。继续把它与X^0 +X^3相乘,得到X^0 +X^1 +X^2 + 2*X^3 +X^4 +X^5 +X^6。

聪明的你,是不是发现了什么?

如果没有,接着把它与X^0+X^4相乘,最后得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + 2*X^4 + 2*X^5 + 2*X^6 + 2*X^7 +X^8 +X^9 +X^10。

由于X的指数表示的是重量,所以,在相乘时,根据幂的运算法则(同底幂相乘,指数相加),得到的结果正是所有的方案。而且,每个X前面的系数代表它有几种方案。

真是神奇啊。。。。

需要注意的是,如果有2个1克的砝码,应该用X^0 +X^1 +X^2表示,而不是X^0 + 2*X^1。


母函数还可以解决其他问题,比如,整数划分。

整数划分是个很经典的问题,划分规则就不再细述,直接说思路。与上面的问题相比,每种砝码的个数不再是1个,而是无限个。于是,

1克的砝码可以用X^0 +X^1 +X^2 +X^3 ……表示,

2克的砝码可以用X^0 +X^2 +X^4 +X^6……表示,

3克的砝码可以用X^0 +X^3 +X^6 +X^9……表示,

依次类推。

相乘后求出X^n的系数,就是结果。


总而言之,解决此类问题,只要模拟好2个多项式相乘就好了。

大概思路是开2个数组,c1[ ]保存当前得到的多项式各项系数,c2[ ]保存每次计算时的临时结果,当每次计算完毕后,把它赋给c1,然后c2清零。

计算的时候,开3层for循环。最外层,记录它正在与第几个多项式相乘。第二层,表示c1中的每一项,第三层表示后面被乘多项式中的每一项。

今天南阳出太阳了,祥兆啊,加油。


附三道题目及代码:

http://blog.csdn.net/dgq8211/article/details/7386274

http://blog.csdn.net/dgq8211/article/details/7386443

http://blog.csdn.net/dgq8211/article/details/7387013


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