[数分提高]2014-2015-2第7教学周第1次课讲义 4.1 积分与极限

1. $$\bex \vlm{n}\sex{\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}}. \eex$$

2. 对 $\al,\beta\neq -1$, 求 $$\bex \vlm{n}\frac{[1^\al+3^\al+\cdots+(2n+1)^\al]^{\beta+1}}{[2^\beta+4^\beta+\cdots+(2n)^\beta]^{\al+1}}. \eex$$

3. $$\bex \vlm{n}\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^nx\rd x. \eex$$

4. 设 $f\in C[0,1]$, 试证: $$\bex \lim_{h\to 0^+} \int_0^1 \frac{h}{h^2+x^2}f(x)\rd x=\frac{\pi}{2}f(0). \eex$$

5. 设 $0\leq f, 0<g\in C[a,b]$, 试证: $$\bex \vlm{n} \sez{\int_a^b f^n(x)g(x)\rd x}^\frac{1}{n}=\max_{a\leq x\leq b}f(x). \eex$$

6. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导, $f'(x)\in \calR[a,b]$, $$\bex A_n=\sum_{i=1}^n f\sex{a+i\frac{b-a}{n}}\frac{b-a}{n} -\int_a^b f(x)\rd x,\quad n=1,2,\cdots. \eex$$ 试证: $$\bex \vlm{n}nA_n=\frac{b-a}{2}[f(b)-f(a)]. \eex$$

7. 设 $f\in \calR[a,b]$, $0\leq g\in \calR[a,b]$, $g$ 以 $T$ 为周期, 试证: $$\bex \vlm{n}\int_a^b f(x)g(nx)\rd x =\frac{1}{T}\int_0^T g(x)\rd x\cdot \int_0^T f(x)\rd x. \eex$$

8. 设 $0\leq f\in C[a,b],\ \nearrow$, 由积分中值定理, $$\bex \forall\ n=1,2,\cdots,\ \exists\ x_n\in [a,b],\st f^n(x_n)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f^n(x)\rd x. \eex$$ 试求 $$\bex \vlm{n}x_n. \eex$$

作业. 设 $0<f\in C[0,1]$, 试求 $$\bex \vlm{n}\sqrt[n]{f\sex{\frac{1}{n}}f\sex{\frac{2}{n}}\cdots f\sex{\frac{n-1}{n}}f(1)}. \eex$$

作业. 设 $$\bex f(x)=\int_x^{x^2} \sex{1+\frac{1}{2t}}^t \sin \frac{1}{\sqrt{t}}\rd t,\quad x>0. \eex$$ 试求 $$\bex \vlm{n}f(n)\sin\frac{1}{n}. \eex$$