[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.25

对函数 $$\bex \zeta(s)=\vsm{n}\frac{1}{n^s}\quad\sex{s>1}, \eex$$ 证明: $\dps{\zeta(s)=s\int_1^\infty \frac{\sez{x}}{x^{s+1}}\rd x}$, 其中 $\sez{x}$ 为 $x$ 的整数部分. (西北师范大学)

 

证明: $$\beex \bea s\int_1^\infty \frac{\sez{x}}{x^{s+1}}\rd x &=s\vsm{n}\int_n^{n+1} \frac{\sez{x}}{x^{s+1}}\rd x\\ &=s\vsm{n}n \int_n^{n+1} \frac{\rd x}{x^{s+1}} =\vsm{n}n\sez{\frac{1}{n^s}-\frac{1}{(n+1)^s}}\\ &=\vlm{n}\sum_{k=1}^n \sez{\frac{1}{k^{s-1}}-\frac{k}{(k+1)^s}}\\ &=\vlm{n}\sez{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^{s-1}} -\sum_{k=1}^n \frac{(k+1)-1}{(k+1)^s}}\\ &=\vlm{n}\sez{1-\frac{1}{(n+1)^s}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)^s}}\\ &=\vsm{n}\frac{1}{n^s}. \eea \eeex$$