[复变函数]第07堂课 2.2 初等解析函数

 

 

1. 指数函数

(1) 定义: $$\bex e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y). \eex$$

(2) 性质:

a. $e^z$ 在 $\bbC$ 上解析, 且 $(e^z)'=e^z$.

b. 当 $z=x\in\bbR$ 时, $e^z=e^x$ 为实指数函数, 且 $$\bex e^{z_1+z_2}=e^{z_1}\cdot e^{z_2}. \eex$$

c. $|e^z|=e^x>0\ra e^z\neq 0$, $\Arg e^z=y$.

d. $e^z$ 是以 $2\pi i$ 为基本周期的周期函数: $$\bex e^{z+2k\pi i}=e^z,\quad k\in\bbZ. \eex$$

e. $\dps{\lim_{z\to\infty}e^z}$ 不存在: $$\bex \lim_{\bbR\ni z\to-\infty}e^z=0,\quad \lim_{\bbR\ni z\to+\infty}e^z=+\infty. \eex$$

(3) 注记:

a. 若 $\Re z=0$, 则 $$\bex e^{iy}=\cos y+i\sin y\ra e^{i\pi}=-1\ra e^{i\pi}+1=0, \eex$$ 将数学中最重要的常数联系了起来. 参考 Euler 公式的美.

b. $$\beex \bea e^{z_1}=e^{z_2} &\ra e^{z_1-z_2}=1\\ &\ra e^x\cdot e^{iy}=1\quad(z_1-z_2=x+iy)\\ &\ra x=1,\quad y=2k\pi\quad (k\in\bbZ)\\ &\ra z_1-z_2=e^{2k\pi i}\quad(k\in\bbZ). \eea \eeex$$

c. $e^z=e^{z+2\pi i}$, 但 $e^z\neq 0$. 于是 Rolle 定理在复数域内不再成立. 当 L'Hospital 法则仍然成立: $$\bex \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)}{g(z)} =\lim_{z\to z_0}\frac{f'(z)}{g'(z)}. \eex$$

 

2. 三角函数与双曲函数

(1) 引言: $$\bex e^{iy}=\cos y+i\sin y\ra \cos y=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2},\quad \sin y=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}\quad (y\in\bbR). \eex$$

(2) 定义: $$\bex \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\quad \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\quad(z\in\bbC). \eex$$

(3) 性质:

a. 在 $\bbC$ 上解析, 且 $$\bex (\cos z)'=-\sin z,\quad (\sin z)'=\cos z. \eex$$

b. $\sin z$ 奇, $\cos z$ 偶, 且 $$\beex \bea \sin^2z+\cos^2z&=1,\\ \sin(z_1+z_2)&=\sin z_1\cos z_2+\cos z_1\sin z_2,\\ \cos(z_1+z_2)&=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2. \eea \eeex$$

c. $|\sin z|\leq 1$, $|\cos z|\leq 1$ 不再成立 ($z^2\neq |z|^2$), 且 $\sin z,\cos z$ 无界: $$\bex |\sin iy|=\sev{\frac{e^y-e^{-y}}{2i}} \geq \frac{e^y-1}{2}\to \infty\quad(0<y\to+\infty). \eex$$

d. $\sin z,\cos z$ 以 $2\pi$ 为周期.

e. $\sin z$ 的零点为 $k\pi\ (k\in\bbZ)$; $\cos z$ 的零点为 $\dps{k\pi+\frac{\pi}{2}\ (k\in\bbZ)}$: $$\bex \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0\ra e^{2iz}=1\ra 2iz=2k\pi i\ra z=k\pi\ (k\in\bbZ). \eex$$

f. $\sin (z+w)=\sin z\quad (\forall\ z\in\bbC)\ra z=2k\pi\ (k\in\bbZ)$: $$\beex \bea &\quad 0=\sin (z+w)-\sin z=2\cos \sex{z+\frac{w}{2}}\sin \frac{w}{2}\\ &\ra \sin\frac{w}{2}=0\ra \frac{w}{w}=k\pi\ra w=2k\pi. \eea \eeex$$

(4) 正切, 余切, 正割, 余割: $$\bex \tan z=\frac{\sin z}{\cos z},\quad \cot z=\frac{\cos z}{\sin z},\quad \sec z=\frac{1}{\cos z},\quad \csc z=\frac{1}{\sin z}. \eex$$

(5) 性质:

a. 除去使分母为零的点外均解析, 且 $$\beex \bea (\tan z)'=\sec^z,&\quad (\cot z)'=-\csc^2z,\\ (\sec z)'=\sec z\tan z,&\quad (\csc z)'=-\csc z\cot z. \eea \eeex$$

b. $\tan z$, $\cot z$ 以 $\pi$ 为周期; $\sec z, \csc z$ 以 $2\pi$ 为周期. 例: $\tan (z+w)=\tan z\ (\forall\ z\in\bbC)\ra w=k\pi\ (k\in\bbZ)$.

(6) 双曲正弦, 双曲余弦, 双曲正切, 双曲余切, 双曲正割, 双曲余割: $$\beex \bea \sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2},&\quad \cosh z=\frac{e^z+e^{-z}}{2},\\ \tanh z=\frac{\sinh z}{\cosh z},&\quad \coth z=\frac{\cosh z}{\sinh z},\\ \sech z=\frac{1}{\cosh z},&\quad \csch z=\frac{1}{\sinh z}. \eea \eeex$$

 

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