线性代数笔记18：线性变换与基变换

每一个矩阵都可以看作是线性变换，矩阵乘法也是由线性变换的复合引出的。

线性变换

理解

线性变换是一种映射，对于向量来说，就是线性空间到线性空间的映射。这里不严格给出线性变换的定义，但举例来说，投影变换、反射变换、不定积分等都可以看做是线性变换。

与线性变换相对的是仿射变换，例如：

T(x)=Ax+x0 T ( x ) = A x + x 0

就是一个仿射变换，可以通俗的理解为对现象变换 Ax A x 加上了一个偏移量 x0 x 0 。

性质

由线性变换的性质，我们可以得到：

1. T(0)=0,T(−x)=−x T ( 0 ) = 0 , T ( − x ) = − x
2. T(c1x1+c2x2+...+cnxn)=c1T(x1)+c2T(x2)+...+cnT(xn) T ( c 1 x 1 + c 2 x 2 + . . . + c n x n ) = c 1 T ( x 1 ) + c 2 T ( x 2 ) + . . . + c n T ( x n )
3. 若 x1,...,xn x 1 , . . . , x n 线性相关，则 T(x1),...T(xn) T ( x 1 ) , . . . T ( x n ) 线性相关。

即线性变换保持向量空间的线性关系。

例如，线性变换总是把直线变成直线，把三角形变成三角形，把平行四边形变成平行四边形。。。

线性变换的矩阵表示

我们想用一个矩阵来表示一个向量中所有线性空间中的变换，也就是用矩阵来描述这个线性变换。

设 V V 和 W W 分别是数域上 n n 维、 m m 维向量空间， T:V→W T : V → W 是 V V 到 W W 的线性变换。

在 V V 中取一组基 v1,...,vn v 1 , . . . , v n ，则对于任意的 v v ,可以用基表示为 v=c1v1,...,cnvn v = c 1 v 1 , . . . , c n v n ，这也就是 v v 在这组基下的坐标。

因此， T(v)=c1T(v1)+...+cnT(vn) T ( v ) = c 1 T ( v 1 ) + . . . + c n T ( v n ) 。我们可以发现，要求这个线性空间中任意向量的线性变化，只需要知道基的变换即可。

因此，我们可以在 W W 中取一组基 w1,...,wm w 1 , . . . , w m ，则得到基的线性变换为：

称 m×n m × n 矩阵 A A 为线性变换 T T 在 V V 中给定基 v1,....,vn v 1 , . . . . , v n 和 W W 中给定基 w1,...,wm w 1 , . . . , w m 下的矩阵表示。

线性变换与矩阵之间的关系

线性变换的唯一性

对于一个线性变换 σ σ ，在确定了一组基后，对应于唯一的矩阵 A A 。

而一个矩阵 A A 在一组基下，也对应唯一一个线性变换 σ σ 。

可逆线性变换

设 σ∈L(V,V) σ ∈ L ( V , V ) 为可逆线性变换，且 σ σ 在 V V 的某一组基下的矩阵为 A A ，则 σ−1 σ − 1 在这组基下的矩阵为 A−1 A − 1 。

例子

设线性变换 t:R3→R2 t : R 3 → R 2 定义为 t(x,y,z)=(x+y,y−z) t ( x , y , z ) = ( x + y , y − z ) ，线性变换 σ:R2→R2 σ : R 2 → R 2 定义为 σ(u,v)=(2u−v,u) σ ( u , v ) = ( 2 u − v , u ) ，求线性变换 σt:R3→R2 σ t : R 3 → R 2 在 R3 R 3 与 R2 R 2 标准基下的矩阵。

注意到：

σt(x,y,z)=σ(t(x,y,z))=σ(x+y,y−z)=(2x+y+z,x+y) σ t ( x , y , z ) = σ ( t ( x , y , z ) ) = σ ( x + y , y − z ) = ( 2 x + y + z , x + y )

因此在 R3 R 3 的标准基 e1,e2,e3 e 1 , e 2 , e 3 与 R2 R 2 的标准基 δ1,δ2 δ 1 , δ 2 下有：

σt(e1)=σt(1,0,0)=(2,1)=2δ1+δ2 σ t ( e 1 ) = σ t ( 1 , 0 , 0 ) = ( 2 , 1 ) = 2 δ 1 + δ 2

σt(e2)=σt(0,1,0)=(1,1)=δ1+δ2 σ t ( e 2 ) = σ t ( 0 , 1 , 0 ) = ( 1 , 1 ) = δ 1 + δ 2

σt(e3)=σt(0,0,1)=(1,0)=δ1 σ t ( e 3 ) = σ t ( 0 , 0 , 1 ) = ( 1 , 0 ) = δ 1

因此：

又因为：

验证可得：

AB=C A B = C

这就是线性变换的复合。

基变换

我们可以将基变换理解为特殊的线性变换，因为基变换其实是可逆线性变换，也就是说， A A 始终是可逆矩阵。

设 σ σ 是恒同变换，则：

则恒同变换 σ σ 在两组基下的矩阵表示 P P 与 V V 的这两组基之间的基变换矩阵。

线性变换在不同基下的矩阵

我们发现，线性变换与基的选取有关：同一个线性变换在不同基下的矩阵表示不相同。

因此，我们希望找出线性变换与基无关的性质，或者说，找出线性变换的矩阵表示如何随着基的改变而改变。

对于这样一个变换，我们既可以通过 B B 矩阵直接得到，也可以通过基变换 P P ，在新基上用 A A 矩阵变换，最后回到原来的基上来表示，因此可以得到：

B=PAP−1 B = P A P − 1

我们发现，对于同样一个线性变化，在不同基下的变换矩阵时相似的，同时，可逆矩阵 P P 表示这个基变换矩阵。

这是个很好的性质，我们因此可以理解对角化 A=SΛS−1 A = S Λ S − 1 和奇异值分解 A=U∑VT A = U ∑ V T ，在此不再赘述，可以参考目录。

参考资料

1. 线性代数(2)